Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 11 декабря 2017 г.

Удачное дополнительное построение




Рассмотрим серию геометрических задач из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии трапеции, свойства параллелограмма, равновеликие треугольники и равновеликие треугольник и трапеция. Но главное, что облегчает решение -
дополнительное построение.

Задача. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Решение. Построим заданную трапецию, в ней средняя линия МР=10, диагонали BD=15 и АС=7. По свойству средней линии трапеции можно найти сумму оснований ВС+АD=2МР = 20.
На первый взгляд все сложно.

воскресенье, 10 декабря 2017 г.

Найдите основания трапеции



Рассмотрим сложную геометрическую задачу из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии и середин оснований трапеции, свойство медианы прямоугольного треугольника, свойство отрезков соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника.

Задача. Углы при одном из оснований трапеции равны 70 и 20 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 18 и 10. Найдите основания трапеции.
Решение. Пусть основание AD больше основания BC, тогда острые углы равные 70 и 20 градусам лежат при оснований AD. Обозначим буквами М и Р середины боковых сторон AB и CD соответственно, тогда МР - средняя линия трапеции, по свойству средней линии трапеции AD+BC=2МР. Из условия мы знаем что МР равна либо 18 либо 10 .

суббота, 9 декабря 2017 г.

Модуль квадратичной функции



Еще одна серия задач на построение графиков функций, но теперь это квадратичные функции под знаком модуля. Также повышенной трудности из открытого банка заданий ФИПИ по математике. Эти задачи предлагаются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ под тем же номером 23 (модуль "Алгебра").

 Задача 1. Постройте график функции y=x2 +5x+4∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение. Область определения данной функции R.
График функции y=x2 +5x+4∣ получается из графика квадратичной функции y=x2 +5x+4 симметричным отображением относительно оси Ох той части графика, где у меньше нуля. Найдем координаты вершины параболы y=x2 +5x+4 по формуле х0= -b/(2a) =-5/2=-2,5. Тогда у0 = (-2,5)2+5*(-2,5)+ 4= - 2,25. Модуль эту точку отобразит в точку (2,5; 2,25).
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, решив уравнение x2 +5x+4 = 0. Его корни х1 = -1 и х2 = -4. В этих точках график функции y=x2 +5x+4∣ будет касаться оси Ох.

Графики с дыркой на ОГЭ




Рассмотрим задачи повышенной трудности из открытого банка заданий ФИПИ по математике. В них необходимо уметь строить графики различных функций, находить точки пересечения этих графиков. Такие задачи предлагаются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ под номером 23 (модуль "Алгебра") и оцениваются в 2 балла.

Задача 1. Постройте график функции 
Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

пятница, 8 декабря 2017 г.

На доске натуральные числа




Рассмотрим очередную задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), задача о натуральных числах и довольно простая. Такие задачи в контрольно-измерительных материалах стоят под номером 19. За правильное решение подобных задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решение. Произведение любых двух чисел из некоторого набора натуральных чисел больше 25, если в этом наборе произведение двух самых маленьких чисел больше 25. Произведение любых двух чисел из того же набора меньше 85, если в этом наборе произведение двух самых больших чисел меньше 85.
а) Такой набор из 5 чисел легко подобрать 5,6,7,8,9.

четверг, 7 декабря 2017 г.

Сколько сделать фотографий?



Рассмотрим задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), такие задачи в КИМах стоят под номером 19. За правильное решение таких задач можно получить сразу 4 первичных балла.
Задача 1. Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа  n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Решение.
а) за семь дней сделают
Маша m+ m+1+ m+2+ m+3+ m+4+ m+5+ m+6=7 m+21,
Наташа n+ n+1+ n+2+ n+3+ n+4+ n+5+ n+6=7 n+21.
Но Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша. То есть
7 n+21-(7 m+21)=1001. Отсюда  7 n-7 m=1001 и, после деления на 7 получаем  
 n- m=143. n= m+143.
Из полученного равенства видно, что решений в этом случае бесконечно много, например n=1, m=144 или  n=2,  m=145.

Решение логарифмических неравенств


Рассмотрим решение логарифмических неравенств из открытого банка заданий ФИПИ для подготовки к ЕГЭ по математике, соответствующего заданию под номером 15 КИМов.

среда, 22 ноября 2017 г.

Сушим фрукты на ОГЭ



Приводим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике для подготовки к ОГЭ. Эти задачи идут на итоговой аттестации под номером 22.
Задача 1. Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные  22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 22 кг высушенных фруктов?
Решение. Высушенные фрукты содержат 22% воды, остальные 78% - «сухие» вещества, из которых состоят фрукты. Найдем количество «сухих» веществ в высушенных фруктах
22 кг  -  100%
х кг   -   78%. Отсюда х = 22*78/100 = 17,16 кг.
Но в свежих фруктах содержалось такое же количество «сухих» веществ (испаряется только вода), получаем
17,16 кг   -  22%
х кг         -  100%. Отсюда х = 17,16*100/22= 78 кг.
Ответ 78.
Задача 2. Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные  30%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

вторник, 21 ноября 2017 г.

Две окружности и две касательных



Рассмотрим решение задачи повышенной трудности из сборника контрольно-измерительных материалов «Математика. ОГЭ. 2018» под редакцией И.В. Ященко.
Задача. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение. Продолжим касательные АС и BD до пересечения в точке Е. Вспомним свойство касательных.
Если из точки вне окружности провести две касательные к этой окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

вторник, 14 ноября 2017 г.

Доказано тремя способами



Рассмотрим три способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.
Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна прямой КР.
Доказательство.
1 способ. (Используем свойства равнобедренного треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.
Треугольник РВС – тоже равнобедренный, так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН – медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и требовалось доказать.

суббота, 11 ноября 2017 г.

Когда приедет желтое такси



Рассмотрим серию простых задач по теории вероятности, которые предлагает Открытый банк заданий ОГЭ ФИПИ.
Задача 1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение. Вероятность события равна отношению числа благоприятных этому событию исходов к общему числу всех возможных исходов. В данной задаче интересующее нас событие – приезд желтой машины. Из пятнадцати машин (возможные исходы), желтых 6 (благоприятный исход). Вероятность приезда желтой машины P=6/15 = 0,4.
Ответ: P=0,4.

Двумя способами



Рассмотрим два способа решения одного уравнения (задания, которые предлагаются под номером 21 на ОГЭ, то есть повышенной трудности). Все задания из Открытого банка заданий ФИПИ.

Методом замены переменных


Рассмотрим несколько примеров на решение уравнений методом замены переменных (задания, которые предлагаются под номером 21 на ОГЭ, то есть повышенной трудности). Все задания из Открытого банка заданий ФИПИ.

 Переходим к решению другого задания.

четверг, 2 ноября 2017 г.

Параллелограмм на клетчатой бумаге

И на ОГЭ в 9 классе, и на ЕГЭ в 11 классе достаточно много заданий на клетчатой бумаге. В этом сообщении мы рассмотрим несколько задач, составленных по одному чертежу.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Задача 1. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задача 2. Найдите периметр этого параллелограмма.
Задача 3. Вычислите котангенс острого угла параллелограмма.
Задача 4. Вычислите синус острого угла параллелограмма.
Задача 5. Вычислите косинус острого угла параллелограмма.
Задача 6. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.

вторник, 31 октября 2017 г.

Остроугольный треугольник и полуокружность



Рассмотрим подробно решение задачи повышенной сложности по геометрии из сборника
контрольно-измерительных материалов ОГЭ. Она показывает, как важно в геометрической задаче правильно выполнить чертеж.
Задача. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АР в точке М, АР = 80, МР = 64, Н – точка пресечения высот треугольника АВС. Найдите АН.
Решение. Построим остроугольный треугольник АВС, на стороне ВС как на диаметре построим полуокружность. Проведем высоту АР, она, по условию, пересекает полуокружность в точке М.

О, великий Desmos!

Весь октябрь, с 1 по 31, участвовал в мастер-классе Людмилы Рождественской
"Проектирование учебных занятий по математике в среде Teacher Desmos". Пять этапов, пять выполненных заданий, все по тригонометрии для 10-11 классов.
Задания были отмечены автором проекта в публикации Задания по тригонометрии от Олега Кривошеина на сайте проекта, ссылки на работы помещены на страницу Примеры готовых активностей в раздел "Тригонометрия":
Комментарий от Л. Рождественской "Как всегда, отлично! Замечательна сама идея и здорово сделано!"

понедельник, 16 октября 2017 г.

Готовимся к муниципальному этапу

 Задания для 9 класса. Но некоторые из них могут решать и другие классы.
1.      В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре
слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
2.      На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
3.      В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AD и CE. Точки M и N – основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек A и C соответственно. Докажите, что ME = DN.

четверг, 28 сентября 2017 г.

Трапеция становится равнобедренной



Задача.
Дана трапеция, у которой длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение задачи:
1 случай. Пусть угол АОD равен 60 градусам. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. На прямой
AD за точкой D отложим отрезок DM = BC. Тогда AМ = a + b. Четырехугольник ВСМD – параллелограмм, так как отрезки ВС и МD равны и параллельны. Следовательно угол АСМ равен углу АОD и равен 60 градусам. В треугольнике АСМ имеем АС=АМ и угол АСМ равен 60 градусам, значит этот треугольник равносторонний. Углы САМ и СМА также равны 60 градусам. Но угол ВDМ равен углу СМА как односторонние при параллельных ВD и СМ и секущей АМ. Значит треугольник АОD равносторонний, треугольник ВОС тоже равносторонний.
Отсюда следует, что диагонали трапеции равны, значит трапеция – равнобедренная.

Задача для исследования



Рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из школьных олимпиад по математике.
Задача 1.
Через точку О, которая является центром окружности, проведена прямая, пересекающая окружность в точке А.  Радиус ОВ проведен так, что угол АОВ=60°. На прямой ОВ выбрана точка С так, что СК = ОВ, здесь К точка пересечения прямой ВС с данной окружностью. Найдите величину угла КСО.
Решение. Проведём радиус ОК, тогда треугольники ОКВ и ОКС – равнобедренные, ОК = ОВ как радиусы окружности, а ОВ =СК по условию задачи. Из свойства равнобедренного треугольника следует равенство углов ОВК = ОКВ и КОС = КСО. Заметим, что угол ОКВ является внешним углом треугольника ОКС и  равен сумме углов ОСК и СОК. Но углы ОСК и СОК равны, значит угол ОКВ равен двум углам ОСК. Если величину угла ОСК обозначим через х, величина углов ОКВ и ОВК равна .  

среда, 20 сентября 2017 г.

Что продается на ОГЭ?



Итак, полным ходом идет подготовка к ОГЭ и ЕГЭ 2018. Опубликованы на сайте ФИПИ
проекты демонстрационных вариантов контрольно-измерительных материалов по всем предметам, в том числе по математике ОГЭ и ЕГЭ.
Мы сегодня приведём подборку задач на проценты из открытого банка заданий ФИПИ.

Первая серия задач. Одежда из спортивного магазина.
Задача 1. Спортивный магазин проводит акцию. Любая футболка стоит 300 рублей. При покупке двух футболок  скидка на вторую 70%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?
Решение. Футболка стоит 300рублей, это 100% стоимость, найдем, сколько будет стоить вторая футболка. Её стоимость составляет 100 – 70 = 30 процентов от стоимости первой. Получаем
100%    -   300 рублей
30%      -   х рублей.
х = 300:100*30 = 90 рублей.
за покупку двух футболок придётся заплатить 300 + 90 = 390 рублей.
Ответ 390.

вторник, 4 июля 2017 г.

Питерские чудесные творения

Пазлы, созданные в Санкт-Петербурге в перерывах между семинарами, лекциями, мастерклассами, экскурсиями, квестами и т.д.

preview204 pieceСтрелка Васильевского острова
preview204 pieceАдмиралтейский шпиль

воскресенье, 25 июня 2017 г.

пятница, 12 мая 2017 г.

КИМы досрочного ЕГЭ 2017

Есть возможность потренироваться в подготовке к единому государственному экзамену по математике на решении  реальных заданий,  на сайте ФИПИ опубликованы по одному варианту КИМ, использованных для проведения ЕГЭ досрочного периода 2017 года, по 14 общеобразовательным предметам.
По математике
Базовый  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/ma_baz_101.pdf
Профильный  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/maprof_101.pdf
По информатике http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/inf_101_0.pdf
По физике  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/fi_101.pdf

воскресенье, 7 мая 2017 г.

Объекты Солнечной системы на ОГЭ



Задача 1. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?
Планета
Марс
Меркурий
Нептун
Сатурн
Расстояние (в км)
2,28108
5,79107
4,497109
1,427109

1
2
3
4
Марс
Меркурий
Нептун
Сатурн
Решение. Ближе всех к Солнцу Меркурий, он находится на расстоянии 5,79107 км = 57 900 000 км.
Ответ 2.