Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

вторник, 21 ноября 2017 г.

Две окружности и две касательных



Рассмотрим решение задачи повышенной трудности из сборника контрольно-измерительных материалов «Математика. ОГЭ. 2018» под редакцией И.В. Ященко.
Задача. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение. Продолжим касательные АС и BD до пересечения в точке Е. Вспомним свойство касательных.
Если из точки вне окружности провести две касательные к этой окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

Так как касательные к данным окружностям общие, то центры О и О1 лежат на биссектрисе угла Е. Далее вспомним, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через общую точку касания окружностей. Тогда длина отрезка ОО1 равна сумме радиусов окружностей, те ОО1 = 42+84=126.
Далее, треугольники СЕD и ВЕА – равнобедренные, а ЕН и ЕК – биссектрисы, то ЕК перпендикулярна СD и АВ по свойству равнобедренного треугольника. Значит, нам необходимо найти длину отрезка КН (прямые АВ и СD параллельны, так как перпендикулярны одной прямой ОЕ, расстояние между ними – длина общего перпендикуляра КН).
Легко увидеть, что треугольники АЕО и СЕО1 подобны по 1 признаку (они прямоугольные и имеют общий угол АЕО). Значит, соответствующие стороны пропорциональны. И если радиус ОА в два раза больше радиуса О1С, то АЕ в два раза больше СЕ, ОЕ в два раза больше О1Е. Значит О1Е = О1О = 126.
Треугольники АЕК и СЕН подобны по 1 признаку (они прямоугольные и имеют общий угол АЕО). Значит, соответствующие стороны пропорциональны. И если АЕ в два раза больше СЕ, то КЕ в два раза больше НЕ. Значит КН = НЕ.
Теперь рассмотрим треугольник О1ЕС, он прямоугольный и СН – высота, проведенная из прямого угла. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу) О1С2 = О1Н* О1Е. То есть
42*42= О1Н*126 или О1Н = 42*42/126 = 14. Но
КН = НЕ = О1Е - О1Н = 126 – 14 = 112.
Ответ 112.

Задачи для самостоятельного решения из этого же сборника:
Задача 1. Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Задача 2. Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Задача 3. Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Задача 4. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.