Две окружности и две касательных

Рассмотрим решение задачи повышенной трудности из сборника контрольно-измерительных материалов «Математика. ОГЭ. 2018» под редакцией И.В. Ященко.

Задача. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение. Продолжим касательные АС и BD до пересечения в точке Е. Вспомним свойство касательных.

Если из точки вне окружности провести две касательные к этой окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

Так как касательные к данным окружностям общие, то центры О и О₁ лежат на биссектрисе угла Е. Далее вспомним, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через общую точку касания окружностей. Тогда длина отрезка ОО₁ равна сумме радиусов окружностей, те ОО₁ = 42+84=126.

Далее, треугольники СЕD и ВЕА – равнобедренные, а ЕН и ЕК – биссектрисы, то ЕК перпендикулярна СD и АВ по свойству равнобедренного треугольника. Значит, нам необходимо найти длину отрезка КН (прямые АВ и СD параллельны, так как перпендикулярны одной прямой ОЕ, расстояние между ними – длина общего перпендикуляра КН).

Легко увидеть, что треугольники АЕО и СЕО₁ подобны по 1 признаку (они прямоугольные и имеют общий угол АЕО). Значит, соответствующие стороны пропорциональны. И если радиус ОА в два раза больше радиуса О₁С, то АЕ в два раза больше СЕ, ОЕ в два раза больше О₁Е. Значит О₁Е = О₁О = 126.

Треугольники АЕК и СЕН подобны по 1 признаку (они прямоугольные и имеют общий угол АЕО). Значит, соответствующие стороны пропорциональны. И если АЕ в два раза больше СЕ, то КЕ в два раза больше НЕ. Значит КН = НЕ.

Теперь рассмотрим треугольник О₁ЕС, он прямоугольный и СН – высота, проведенная из прямого угла. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике (катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу) О₁С² = О₁Н* О₁Е. То есть

42*42= О₁Н*126 или О₁Н = 42*42/126 = 14. Но

КН = НЕ = О₁Е - О₁Н = 126 – 14 = 112.

Ответ 112.

Задачи для самостоятельного решения из этого же сборника:

Задача 1. Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Задача 2. Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Задача 3. Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Задача 4. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.