Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

четверг, 28 сентября 2017 г.

Трапеция становится равнобедренной



Задача.
Дана трапеция, у которой длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение задачи:
1 случай. Пусть угол АОD равен 60 градусам. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. На прямой
AD за точкой D отложим отрезок DM = BC. Тогда AМ = a + b. Четырехугольник ВСМD – параллелограмм, так как отрезки ВС и МD равны и параллельны. Следовательно угол АСМ равен углу АОD и равен 60 градусам. В треугольнике АСМ имеем АС=АМ и угол АСМ равен 60 градусам, значит этот треугольник равносторонний. Углы САМ и СМА также равны 60 градусам. Но угол ВDМ равен углу СМА как односторонние при параллельных ВD и СМ и секущей АМ. Значит треугольник АОD равносторонний, треугольник ВОС тоже равносторонний.
Отсюда следует, что диагонали трапеции равны, значит трапеция – равнобедренная.

2 случай. Пусть угол СОD равен 60 градусам. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. На прямой
ВС  за точкой С отложим отрезок СM = АD. Тогда ВМ = a + b. Четырехугольник АСМD – параллелограмм, так как отрезки СМ и АD равны и параллельны. Отсюда следует, что DМ = АС= a + b. Следовательно треугольник  ВDМ – равнобедренный ВМ=МD и углы МВD и МDВ равны. Но углы МDО и СОD – односторонние при параллельных ВМ и АD и секущей ВD и их сумма равна 180 градусам, то есть угол ВDМ равен 120 градусам. Но тогда сумма углов треугольника ВМD больше 180 градусов. Противоречие. Значит, угол СО D не может быть равен 60 градусам в условиях этой задачи.