Логарифмы

«С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системой нумерации».

Я. В. Успенский 

Пост Логарифмы

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. 

Определение логарифма можно кратко записать так:  . Это равенство справедливо при b>0, a > 0, a ≠ 1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:
 

или в более общем случае

Логарифм частного от деления:
 

или в более общем случае

Формула замены основания логарифма:
  

Из этой следует
 
Логарифм степени:
или в более общем случае

Из этой формулы следуют:
Логарифм корня:
 
Логарифм со степенным основанием:
 

 Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b.
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b. 

Рассмотрим примеры на вычисление значений логарифмов и выражений, содержащих логарифмы.

Логарифмические уравнения и неравенства.

Решение заданий из книги ЕГЭ 2012. Математика: тематические тренировочные задания. В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. –М. ЭКСМО, 2011.
Страница 42.
С68. Решить уравнение.
.
Решение. В левой части стоит сумма двух неотрицательных слагаемых, она может быть равна нули только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Получаем систему из двух уравнений:

Решая второе уравнение получаем  , по теореме, обратной к теореме Виета, находим корни х1 =-1, х2 = 5. Подставляя полученные значения в первое уравнение, видим, что число 5 не является его корнем. Ответ -1.

С70. Решить уравнение.
 .
Решение. В левой части стоит сумма двух неотрицательных слагаемых, она может быть равна нули только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.
Получаем систему из двух уравнений:

Решаем второе уравнение. Если квадрат неизвестного числа равен нулю, значит это число равно нулю. Получаем уравнение:
, отсюда, по определению логарифма,  . Или, после переноса единицы в левую часть уравнения  . Корни этого квадратного уравнения х1 =0,5, х2 = -3.
Теперь надо проверить являются ли данные числа решениями первого уравнения. Подставляем их в первое уравнение и видим, что оба корня являются решениями. Оба пишем в ответ. Ответ -3; 0,5.

С74. Решить уравнение.
.
Решение. Сначала разложим квадратный трёхчлен, стоящий в первом логарифме на множители: . Под вторым логарифмом стоит квадрат разности двух чисел  . Наше уравнение принимает вид
.
Используя свойства логарифма получим:
. Первый логарифм равен единице, а ко второму применим формулу перехода к логарифму с другим основанием.
 , или  .
Осуществим замену переменной  , получим   .
Перенесем всё в правую часть и приведём к общему знаменателю
 , отсюда  .
Рассматриваем два случая.
1. , по определению логарифма ,  , , .
Получаем два корня  . При проверке устанавливаем, что они оба не входят в область допустимых значений аргумента.
2.  , по определению логарифма , возводя обе части уравнения во вторую степень получаем , . Получаем ещё два корня . Первый не входит в ОДЗ, это мы уже установили. Второй корень удовлетворяет уравнению. Ответ х =0,25.

Решения логарифмических неравенств повышенного уровня

Логарифмические неравенства С75, С76, С77.