Цилиндр, конус, шар

Готовимся к контрольной работе по теме «Цилиндр, конус и шар»

Задача 1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания цилиндра равна 36π см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение. Из условия площадь основания цилиндра равна 36π = πR², то есть 36 = R², R=6.

Так как осевое сечение цилиндра – квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания h=2R=12.

Подставляем найденные величины в формулу полной поверхности цилиндра S = 2πR(R+h) = 2π*6*(6+12) = 216π.

Ответ 216π.

Задача 2.  Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º.

а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30º.

б) Найти площадь боковой поверхности конуса.

Решение. Из условия угол АРВ равен 120 градусам, значит, угол ОРВ равен 60 градусам, а угол РВО – 30 градусов. По свойству катета, лежащего против угла, равного 30 градусам РО = 0,5 РВ. Образующая РВ = 2*РО = 12см.

а) Найдём площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие РВ и РС, угол между которыми равен 30º. Площадь треугольника РВС равна половине произведения двух сторон РВ и РС на синус угла между ними. Синус же 30 градусов равен 0,5. То есть получаем

S_РВС = 0,5*12*12*0,5 =36 см².

б) Найдём площадь боковой поверхности конуса. Для этого надо знать радиус конуса. Его найдём из треугольника РВО по теореме Пифагора

R²= ОВ²= РВ² – ОР² = 144 – 36 = 108, R=6 квадратных корней из трёх.

S_бок = pRl =p*6 квадратных корней из трёх*12 = 72*ПИ* квадратный корень из трёх см².

Ответ а) 36.

            б) 72*ПИ* квадратный корень из трёх

Задача 3.  Диаметр шара равен 8. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45º к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Решение. Из условия следует, что радиус ОВ равен 4. В прямоугольном треугольнике ОО₁В катеты ОО₁ и О₁В равны. Тогда по теореме Пифагора можно найти их длину

О₁В²+ О₁В²=ОВ², 2О₁В²=4², 2О₁В²= 16, О₁В²= 8. О₁В=2*квадратный корень из двух.

Найдём длину окружности - линии пересечения сферы плоскостью. С = 2*ПИ*R = 2*ПИ*2* квадратный корень из двух= 4*ПИ*квадратный корень из двух.

Ответ 4*ПИ*квадратный корень из двух.

Задача 4.  Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 6 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

 Решение. Из условия следует, что треугольник ВОС равнобедренный и прямоугольный, значит ОК = ВК = КС = 6:2 =3 см.

По теореме Пифагора найдём радиус основания конуса ОВ, ОК²+ КВ²=ОВ², 3²+ 3²=ОВ²,

ОВ²= 18. ОВ=3.

В треугольнике РОК угол РКО равен 60 градусам, по условию. Значит угол КРО равен 30 градусам РК = 2*ОК =6 см. Из треугольника РВК найдём образующую РВ по теореме Пифагора РВ²=РК²+ВК² = 6²+3² = 45. РВ=3.

Площадь боковой поверхности конуса будет равна S_бок = pRl =p*3*3 = 9 p см².

Ответ 9 p.