Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 11 декабря 2017 г.

Удачное дополнительное построение




Рассмотрим серию геометрических задач из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии трапеции, свойства параллелограмма, равновеликие треугольники и равновеликие треугольник и трапеция. Но главное, что облегчает решение -
дополнительное построение.

Задача. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Решение. Построим заданную трапецию, в ней средняя линия МР=10, диагонали BD=15 и АС=7. По свойству средней линии трапеции можно найти сумму оснований ВС+АD=2МР = 20.
На первый взгляд все сложно.

Задача легко решается дополнительным построением. Из точки D проведем прямую,
параллельную диагонали АС до пересечения с продолжением основания ВС в точке Е.
Заметим, что АСЕD – параллелограмм, у него противоположные стороны попарно параллельны, значит треугольник АСD равен треугольнику DЕС (по трем сторонам). Площадь треугольника ВСD равна площади треугольника АВС, так как у них одно основание ВС и высоты, проведенные к этому основанию равны (равны расстоянию между параллельными прямыми ВС и АD. Следовательно, площадь треугольника ВDЕ равна площади трапеции  АВСD.
В треугольнике ВDЕ по условию ВD=15, DЕ=7 по свойству противоположных сторон параллелограмма, ВЕ=ВС+СЕ=ВС+АD=2МР = 20.
Площадь треугольника ВDЕ можно найти по формуле Герона. Найдем его полупериметр р = (15+7+20)/2=21.
S2 = 21(21-15)(21-7)(21-20)=21*6*14*1,
S=7*3*2=42
Ответ 42.

 Задачи для самостоятельного решения.
1.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
2.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 6, а средняя линия равна 5.
3.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7.
4.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.
5.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 6, а средняя линия равна 4.
6.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 5 и 3, а средняя линия равна 2.
7.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 11, а средняя линия равна 10.
8.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.
9.      Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.
10.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 5, а средняя линия равна 6.
11.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 10, а средняя линия равна 5.
12.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 2.
13.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.
14.  Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 12 и 10, а средняя линия равна 5.