Найдите основания трапеции

Рассмотрим сложную геометрическую задачу из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии и середин оснований трапеции, свойство медианы прямоугольного треугольника, свойство отрезков соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника.

Задача. Углы при одном из оснований трапеции равны 70 и 20 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 18 и 10. Найдите основания трапеции.

Решение. Пусть основание AD больше основания BC, тогда острые углы равные 70 и 20 градусам лежат при оснований AD. Обозначим буквами М и Р середины боковых сторон AB и CD соответственно, тогда МР - средняя линия трапеции, по свойству средней линии трапеции AD+BC=2МР. Из условия мы знаем что МР равна либо 18 либо 10 .

Продолжим AB и CD до пересечения в точке К, тогда угол AКD=180-(75+15)=90 градусам. Обозначим буквами Е и Н середины оснований BC,AD соответственно. Буквой О обозначим точку пересечения МР и ЕН. Теперь вспомним замечательное свойство трапеции, у нее середины оснований и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Следовательно, точки К, Е, Н лежат на одной прямой.

1 способ. Так как угол AКD прямой, то по свойству медианы прямоугольного треугольника получаем из треугольника AКD AН=КН=AD/2 , из треугольника ВКС КЕ=BЕ=BC/2 .

Так как КН–КЕ=ЕН, то  AD/2 – BC/2 = ЕН или AD – BC =2ЕН.

Таким образом, мы получили  две систему из двух уравнений с двумя неизвестными
AD-BC=2ЕН
AD+BC=2МР.
По условию, у нас два варианта, либо МР=18 и ЕН=10, либо МР=10 и ЕН=18.

Рассмотрим первый случай  МР=18 и ЕН=10.

AD–BC=2*10
AD+BC=2*18, тогда AD=28, ВС=8.

Рассмотрим второй случай  МР=10 и ЕН=18.

AD–BC=2*18
AD+BC=2*10, тогда AD=28, ВС= – 8. Но длина отрезка всегда положительна.

Значит, подходит решение первой системы.  

Ответ AD=28, BC=8.

2 способ. Вспомним, что в любом выпуклом четырехугольнике отрезки соединяющие середины противоположных сторон точкой пересечения делятся пополам. Значит МО=ОР, ЕО=ОН.

Так как угол AКD прямой, то по свойству медианы прямоугольного треугольника из треугольника AКО КО=ОР=МР/2. Но КО=КЕ+ЕО, значит ОР=КО больше ЕО. Следовательно МР больше ЕН, и МР=18, ЕН=10.

Тогда КО=ОР=9, ЕО=ОН=5. Но КН=КО+ОН=9+5=14.

По свойству медианы из прямоугольного треугольника AКD имеем AН=НD=КН=14 и АD=28. По свойству средней линии трапеции ВС=2МР-АD=2*18-28=8.

Ответ AD=28, BC=8.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      Углы при одном из оснований трапеции равны 85 и 5 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.

2.      Углы при одном из оснований трапеции равны 26 и 64 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 19. Найдите основания трапеции.

3.      Углы при одном из оснований трапеции равны 56 и 34 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 13. Найдите основания трапеции.

4.      Углы при одном из оснований трапеции равны 27 и 63 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 13 и 10. Найдите основания трапеции.

5.      Углы при одном из оснований трапеции равны 44 и 46 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 13 и 3. Найдите основания трапеции.

6.      Углы при одном из оснований трапеции равны 44 и 46 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 2. Найдите основания трапеции.

7.      Углы при одном из оснований трапеции равны 48 и 42 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 3. Найдите основания трапеции.

8.      Углы при одном из оснований трапеции равны 12 и 78 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 10 и 6. Найдите основания трапеции.

9.      Углы при одном из оснований трапеции равны 14 и 76 градусам, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 11. Найдите основания трапеции.