Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 17 декабря 2017 г.

Ценные бумаги Пенсионного фонда



 Рассмотрим несколько задач с экономическим содержанием из открытого банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t=1;2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение. Разберемся внимательно с условием задачи.
В конце первого года ценные бумаги стоят 12 тыс. руб,
В конце второго года ценные бумаги стоят 22 тыс. руб,
В конце третьего года ценные бумаги стоят 32 тыс. руб,
………………………….
В конце t -1 года ценные бумаги стоят (t -1)2 тыс. руб,
В конце t  года ценные бумаги стоят t 2 тыс. руб.
Теперь поймем, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с предыдущим годом:
t 2/(t -1)2 =(t /(t -1))2=((t-1+1)/(t -1))2=(1+1/(t -1))2=1+2/(t -1)+1/(t -1)2.
Продавать ценные бумаги  и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r  за год станет больше, чем 2/(t -1)+1/(t -1)2.
По условию задачи продавать ценные бумаги  надо строго в конце 9 года, значит, за 9 год прирост стоимости ценных бумаг ещё больше банковского прироста,
а в 10–м году уже нет. Получаем в конце 9 года:
2/(9 -1)+1/(9 -1)2> r или 2/8+1/64> r, 17/64> r.
В конце 10 года:
2/(10 -1)+1/(10 -1)2< r или 2/9+1/81< r, 19/81< r.
В итоге получаем двойное неравенство
19/81< r <17/64.
Ответ: 19/81< r <17/64.
PS. Если привести к общему знаменателю дроби в ответе, получим
1216/5184< r <1377/5184, среди них есть r = 1296/5184=1/4=0,25. То есть, если каждый год вклад в банке будет увеличиваться на 25%.

Задача 2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t ( t=1;2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение. Чем условие этой задачи отличается от предыдущей? Здесь r =0,1, а вот год, в конце которого надо продавать ценные бумаги не известен.
Воспользуемся выкладками из предыдущей задачи. Продавать ценные бумаги  и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост r  за год станет больше, чем 2/(t -1)+1/(t -1)2. В нашем случае 2/(t -1)+1/(t -1)2<0,1.
Сделав замену переменных у= t -1, получаем неравенство 2/у+1/у2<0,1 или, после умножения обеих частей неравенства на 10у2, получаем у220у10 >0.
Решаем неравенство методом интервалов, корни уравнения у220у10 =0 у1= 10 - Ö110 и у2= 10 + Ö110. С учетом того, что у >0 получаем у >10 + Ö110.
Делаем обратную замену  t -1 >10 + Ö110 или t >11+Ö110.
Поскольку t >21, то на 22 год деньги уже выгоднее держать в банке. Таким образом, продавать ценные бумаги надо в конце 21 года.
Ответ: 21.

Задачи для самостоятельного решения.
1.      Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t ( t=1;2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
2.      Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t ( t=1;2; ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?