На доске натуральные числа

Рассмотрим очередную задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), задача о натуральных числах и довольно простая. Такие задачи в контрольно-измерительных материалах стоят под номером 19. За правильное решение подобных задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Решение. Произведение любых двух чисел из некоторого набора натуральных чисел больше 25, если в этом наборе произведение двух самых маленьких чисел больше 25. Произведение любых двух чисел из того же набора меньше 85, если в этом наборе произведение двух самых больших чисел меньше 85.

а) Такой набор из 5 чисел легко подобрать 5,6,7,8,9.

б) Такой набор из 6 чисел не возможен. Если к набору 5,6,7,8,9 дописать число меньше 5, то произведение двух самых маленьких чисел будет меньше 25. Если к набору 5,6,7,8,9 дописать число больше 9, то произведение двух самых больших чисел будет больше 85.

в) Составим возможные наборы из 4 чисел и найдем их суммы

6,7,8,9:   6+7+8+9=30

6,7,8,10:   6+7+8+10=31

5,6,7,11:   5+6+7+11=29

5,6,7,12:   5+6+7+11=30

Ответ а) да; б) нет; в) 31.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

2. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

3. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?