Найти объем пирамиды

Приведем решение задачи по стереометрии из открытого банка заданий ФИПИ по математике ( в КИМах они идут под номером 14), за решение таких задач можно получить 2 первичных балла. Перед началом решения вспомним свойства перпендикулярных плоскостей.
Теорема. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Теорема. Если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Решение. а) Плоскости PAB и PCD имеют две общих точки Р и К, значит они пресекаются по прямой РК. Но, если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Значит РК перпендикулярна плоскости АВС, прямым АВ и CD лежащим в плоскости АВС. Но тогда АКD – линейный угол двугранного угла АРКD. В треугольнике АКD по условию сумма углов BAD и ADC равна 90 градусам, значит третий угол АКD равен 90 градусам. Значит двугранный угол АРКD – прямой. Что и требовалось доказать.

б) Найдем объём пирамиды KBCP. Из условия AB=BC=CD=4 следует, что трапеция ABCD- равнобедренная и углы BAD и ADC равны 45 градусам. Но тогда и соответственные им углы КВС и КСВ тоже равны 45 градусам. Значит треугольник КВС прямоугольный и равнобедренный, гипотенуза ВС=4.  Обозначив ВК=КС=х, по теореме Пифагора находим 2х²=16, х²=8. А площадь треугольника КВС равна х²/2=4.

Теперь заметим, что высотой пирамиды КВСР является отрезок РК, но он же является и высотой пирамиды PABCD и равен 9. Значит объём пирамиды KBCP равен 4*9/3=12.

Ответ 12.