Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 17 февраля 2019 г.

Расстояние между скрещивающимися прямыми


Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.
Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.
Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

ВПР по математике и физике 2019

На сайте ФИОКО опубликованы образцы и описания ВПР 2019. В том числе по математике и физике.
Всероссийские проверочные работы (ВПР) – это комплексный проект в области оценки
качества образования, направленный на развитие единого образовательного пространства в Российской Федерации, мониторинг введения Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), формирование единых ориентиров в оценке результатов обучения, единых стандартизированных подходов к оцениванию образовательных достижений обучающихся.
Указанные цели достигаются за счет проведения ВПР в единое время по единым комплектам заданий, а также за счет использования единых для всей страны критериев оценивания.
Участие школы в ВПР 2019 году в 4, 5 и 6 классах является обязательным. В 7 и 11 классах – по решению школы.

воскресенье, 10 февраля 2019 г.

Найти наименьшее число членов последовательности


 Рассмотрим задачу №19 из Методических материалов для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Приведем примеры решения и оценку этих решений экспертами.
Задача. В последовательности а1, а2, …, аn-1, an,  состоящей из целых чисел, а1=1, an=235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235
удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018
Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.
Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.
Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Основание пирамиды - трапеция


Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.
 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+ADC=90. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.
Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем BAD+ADC=90, значит AКD=90.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

В правильной треугольной призме


Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.
Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах АВ и В1С1 отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В1L=2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА1В1С1  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К1. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А1В1 в точке L1. Соединим точки К и L1, L и К1. В сечении получили трапецию КL1LК1.

пятница, 8 февраля 2019 г.

Примеры оценивания решений заданий №14 ЕГЭ



На сайте ФИПИ опубликованы Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Рассмотрим блок примеров на оценивание экспертами заданий №14 (стереометрические задачи).

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2


Примеры оценивания выполнения задания 14
 Пример 1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах АВ и В1С1 отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В1L=2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость 𝛾  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝛾.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝛾.

Ответ: б) 6√3.

Строим ряд из натуральных чисел


Продолжим разбор задач под номером 19, теперь из сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Задача из варианта №11 о построении ряда натуральных чисел с заданными параметрами.
Задача 1. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. 
а) Может ли оказаться так, что первое число 8, а шестое 5? 
б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1000, а двадцатое равно 62?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1000, а последнее число равно 9?

среда, 6 февраля 2019 г.

Вспомним дроби



Дробь можно получить, разделив целое на равные части и взяв несколько таких частей. Например, дробь пять седьмых показывает, что целое разделили на семь равных частей и взяли пять частей.
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной. Все правильные дроби меньше единицы. На рисунке зеленым цветом закрашено три четверти круга.
 Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной. Все неправильные дроби больше или равны единице.
На рисунке красным цветом закрашено пять четвертых частей круга, а коричневым пятнадцать четвертых частей круга.

Школа как бабушкина квартира?

Член Общественной палаты, педагог Ефим Рачевский на заседании комиссии по нацпроектам и демографииКакие проблемы среднего образования сегодня выходят на первый план? Об этом корреспонденту проекта "Социальный навигатор" МИА "Россия сегодня" рассказал народный учитель России, директор московского центра образования №548 "Царицыно" Ефим Рачевский.Приведу три цитаты из интервью. 
Подробнее по ссылке https://sn.ria.ru/20190131/1550145880.html 
 
  •  Школа по содержанию учебных планов напоминает мне старую бабушкину квартиру, где хранятся какие-то сувениры, коробки, картинки. В доме появилась электрическая мясорубка, но на всякий случай сохранилась механическая, если электрическая сломается. Появился блендер, но сохранилась и ступка. И так далее. Постепенно в этой квартире стало невозможно двигаться.