Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 12 января 2019 г.

Раскрыть способности

Привожу выдержки из беседы министра просвещения РФ Ольги ВАСИЛЬЕВОЙ и
Фото с сайта kpfu.ru
обозревателем «НГ» Натальи САВИЦКОЙ о перспективах сферы образования в наступившем, 2019-м году.

 Полный текст на странице Независимой газеты
- Я часто повторяю, что любой ребенок талантлив по-своему, и мы должны приложить максимум усилий для раскрытия его способностей. Особенность подхода нашей страны – доступное и качественное образование для каждого, - еще раз повторюсь, для каждого! – ребенка, проживающего у нас, без исключения.



 Вы знаете, что у нас в стране половина школ сельские, половина из которых малокомплектные, и это также требует особого внимания. Национальный проект «Образование» закладывает существенную помощь сельским школам, в ближайшее время мы обновим материально-техническую базу 16 тысяч сельских школ.

вторник, 13 ноября 2018 г.

Числа, клетки и кандидаты


Ну, решил?

 Рассмотрим решение четырех задач, предлагавшихся на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 2011 году в 10 классе.
Задача 1. Два натуральных числа в сумме составляют 2019, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа. (Задание изменено, ранее стояло число 2011)
Решение. Обозначим второе число за х, тогда первое равно 10х+у, где у – некоторая цифра. Из условия получаем 10х+у+х=2019 или 11х+у =2019. Тогда 11х =2019-у. Значит число 11х находится между числами 2010 и 2019, а это возможно только при х=183. Следовательно у=6. 1836 + 183=2019.
Ответ 1836 и 183.
Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.

воскресенье, 11 ноября 2018 г.

Площади шестиугольника и треугольника


Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов
Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.
Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

суббота, 10 ноября 2018 г.

Треугольник с углом 60 градусов


Рассмотрим олимпиадную задачу для учащихся 10 класса, но уровень ее соответствует и заданию по планиметрии №16 на ЕГЭ. Решить задачу помогает подобие прямоуголных треугольников, которое не совсем просто увидеть.
Задача. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ равно а, а угол АВС равен 60 градусам. Точка К на стороне ВС такова, что ВК =АВ/2. Найдите длину отрезка СК.
Решение. Пусть точка Н – середина ВА, тогда ВН=АН=ВК по условию.

Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 15892-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

15892-1=15892-12=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

понедельник, 5 ноября 2018 г.

Опять помогает окружность


Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, CBD =
2ADB и ABD = 2BDC. Докажите, что AD = DC.
Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

суббота, 3 ноября 2018 г.

Найдите сумму корней уравнения


Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.
Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».
Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х8-2018х4+2017х2=0.
Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x0 является корнем уравнения, то и –x0  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.
Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x2-4x+3)2-4(x2-4x+3)+3=x.

пятница, 2 ноября 2018 г.

Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.
Решение.

понедельник, 15 октября 2018 г.

Задания 10 классу


1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=67,5° и BC=3.
2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=75° и BC=1.

вторник, 9 октября 2018 г.

Две окружности и касательная

Приведу свое решение задачи №16 из второго варианта сборника "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. (под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
Задача. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке Т. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках М и К соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) ТА пересекает МК в точке N. Найдите AN, если радиус большей окружности равен 41, а BC = 80.
Решение.