Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 12 января 2018 г.

В окружность вписан треугольник



Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе. В решении этих задач используются свойства вписанных в окружность углов, свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение. Продолжим радиус АО до пересечения с окружностью в точке К. Соединим отрезками точку К с точками В и С.
Рассмотрим треугольник АВК, в нем угол АВК – прямой, так как вписанный угол АВК опирается на диаметр АК. Из вершины В треугольника АВК опущена высота на гипотенузу АК. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВ2=АР*АК или АР*АК = 182.

воскресенье, 7 января 2018 г.

Спортивные соревнования и спортивные нормативы



Спортивные соревнования различных видов, спортивные нормативы тоже представлены на ОГЭ по математике в 9 классе. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ, в которых надо уметь определять отметки по результатам соревнований и данным нормативам. В заданиях такого вида чаще всего учащиеся делают ошибки из-за спешки, забывая, что чем меньше время бега, тем выше оценка. Вторая ошибка, которая часто встречается – вместо номера правильного ответа пишется сама отметка.
Задача 1. В таблице приведены нормативы по бегу на 60 метров для учащихся 9 класса.

Мальчики
Девочки
Отметка
«5»
«4»
«3»
«5»
«4»
«3»
Время (в секундах)
8,5
9,2
10,0
9,4
10,0
10,5
Какую отметку получит девочка, пробежавшая 60 метров за 9,52 секунды?
1) 
Отметка «5»
2)
Отметка «4»
3)
Отметка «3»
4)
Норматив не выполнен
Решение. Смотрим на нормативы девочек. Так как 9,4<9,52<10,0, то отметка «4».
Ответ 2.

Штрафы за превышение скорости



Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике 9 класса, в которых надо уметь рассчитывать штрафы за превышение скорости по данным таблицам.
Задача 1. В таблице приведены размеры штрафов, установленные на территории России с 1 сентября 2013 года, за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации.
Превышение скорости (в км/ч)
21-40
41-60
61-80
81 и более
Размер штрафа (в руб.)
500
1000
2000
5000
Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 183 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 110 км/ч?
1) 
500
2)
1000
3)
2000
4)
5000
Решение. Вычтем из зафиксированной скорости максимальную разрешенную скорость 183-110=73,  поскольку 61 <73<80 по таблице находим штраф 2000.
Ответ 3.

суббота, 6 января 2018 г.

Расстояние от Солнца до Юпитера



Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике 9 класса, в которых надо уметь выполнять действия с большими числами, уметь эти числа округлять. И уметь внимательно читать задание и правильно записывать ответ.

Задача 1. Расстояние от Солнца до Юпитера равно 779 000 000 км. Сколько времени идёт свет от Солнца до Юпитера? Скорость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в минутах и округлите до десятых.
Решение. Для того чтобы найти время, которое идёт свет от Солнца до Юпитера надо расстояние разделить на скорость.
779 000 000 км: 300 000 км/с=2597 с. Осталось время перевести в минуты и округлить до десятых.
2597 с:60=43,3 мин.
Ответ 43,3

Сколько платить по акциям?



Задача 1. Государству принадлежит 80% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 10 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Решение. Частным лицам принадлежит 100-80=20 процентов акций предприятия. Значит на них будет выплачено 20% прибыли.
10 000 000*0,2=2 000 000 руб.
Ответ 2000000.
Задача 2. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 7:3. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 42 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Трапеция и прямоугольный треугольник



Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.
Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.
Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

четверг, 4 января 2018 г.

Сечение в правильной четырехугольной призме



Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.
Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА1 равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C1L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости g.
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А1, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.
Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

четверг, 28 декабря 2017 г.

Дед Морозово ОГЭ



Уважаемые господа! В этом году, прежде чем попасть в школы и детские сады, Дед Мороз
и Снегурочка прошли сами через испытания Обрнадзора. То ли ВПР они назывались, то ли ЗПР, как-то так. И задания им не понравились. Скучные. И решили Дед Мороз и Снегурочка создать свои варианты испытательных тестов для проведения ОГЭ в 9 классах. Собрали всех своих помощников и вот что получилось.
1.    У Деда Мороза в его резиденции весь 2017 год работал комбинат по изготовлению подарков. В первом цехе работали Василисы премудрые, во втором Марьи искусницы, а в третьем одни Иванушки. Все три бригады изготовили вместе 132 млн подарков. Известно, что бригада Василис изготовила подарков в 3 раза больше, чем Марьи искусницы и на 6 млн подарков меньше, чем Иванушки. На сколько миллионов подарков больше изготовили Иванушки, чем Марьи искусницы?

вторник, 26 декабря 2017 г.

Найти объем пирамиды



Приведем решение задачи по стереометрии из открытого банка заданий ФИПИ по математике ( в КИМах они идут под номером 14), за решение таких задач можно получить 2 первичных балла. Перед началом решения вспомним свойства перпендикулярных плоскостей.
Теорема
. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Теорема. Если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём BAD+ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Решение. а) Плоскости PAB и PCD имеют две общих точки Р и К, значит они пресекаются по прямой РК. Но, если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Значит РК перпендикулярна плоскости АВС, прямым АВ и CD лежащим в плоскости АВС. Но тогда АКD – линейный угол двугранного угла АРКD. В треугольнике АКD по условию сумма углов BAD и ADC равна 90 градусам, значит третий угол АКD равен 90 градусам. Значит двугранный угол АРКD – прямой. Что и требовалось доказать.

понедельник, 25 декабря 2017 г.

В прямоугольной трапеции




В этом сообщении рассмотрим решение более сложной геометрической задачи №26 из пробного экзамена в формате ОГЭ, проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года.

Задача. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=15.
Решение. Из точки Е проведем отрезок ЕН перпендикулярно CD. Длину отрезка ЕН и надо найти. Продолжим боковые стороны АВ и CD трапеции до пересечения в точке Р.
Рассмотрим треугольники ВРС и АРD. Они прямоугольные (по условию AB перпендикулярна основанию BC, а значит и АD) , имеют общий угол Р. Значит треугольники ВРСН и АРD подобны по первому признаку. Из пропорциональности сторон получаем