Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 11 ноября 2018 г.

Площади шестиугольника и треугольника


Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов
Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.
Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

суббота, 10 ноября 2018 г.

Треугольник с углом 60 градусов


Рассмотрим олимпиадную задачу для учащихся 10 класса, но уровень ее соответствует и заданию по планиметрии №16 на ЕГЭ. Решить задачу помогает подобие прямоуголных треугольников, которое не совсем просто увидеть.
Задача. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ равно а, а угол АВС равен 60 градусам. Точка К на стороне ВС такова, что ВК =АВ/2. Найдите длину отрезка СК.
Решение. Пусть точка Н – середина ВА, тогда ВН=АН=ВК по условию.

Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 15892-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

15892-1=15892-12=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

понедельник, 5 ноября 2018 г.

Опять помогает окружность


Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, CBD =
2ADB и ABD = 2BDC. Докажите, что AD = DC.
Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

суббота, 3 ноября 2018 г.

Найдите сумму корней уравнения


Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.
Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».
Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х8-2018х4+2017х2=0.
Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x0 является корнем уравнения, то и –x0  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.
Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x2-4x+3)2-4(x2-4x+3)+3=x.

пятница, 2 ноября 2018 г.

Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.
Решение.

понедельник, 15 октября 2018 г.

Задания 10 классу


1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=67,5° и BC=3.
2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q  середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=75° и BC=1.

вторник, 9 октября 2018 г.

Две окружности и касательная

Приведу свое решение задачи №16 из второго варианта сборника "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. (под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
Задача. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке Т. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках М и К соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) ТА пересекает МК в точке N. Найдите AN, если радиус большей окружности равен 41, а BC = 80.
Решение.

суббота, 15 сентября 2018 г.

Трапеция с тремя равными отрезками


Ну вот и пришло время начинать очередную подготовку к ЕГЭ по математике. С
десятиклассниками решаем на дополнительных занятиях 16 задания по планиметрии из сборника под редакцией И.В. Ященко.
Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.
а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADС .
б) Найдите АВ, если известны длины диагонали трапеции: BD = 8 и AC = 5.
Решение.
а) Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то ВС=АС. Так как треугольник АСD равнобедренный с основанием АD, то АС= СD. Получаем ВС=АС=АD, следовательно, треугольник ВСD равнобедренный и угол СВD равен углу СDВ. Но углы СВD и ВDА – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей ВD, следовательно они равны. Значит  угол СDВ равен углу ВDА и  AC — биссектриса угла BAD.

пятница, 4 мая 2018 г.

Оценивание заданий 21 ОГЭ


Из методических рекомендаций по оцениванию выполнения заданий ОГЭ с развернутым ответом в 2018 году.
Примеры оценивания ответов с комментариями.

Критерии оценки выполнения задания 21.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания
2
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1
Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2
Максимальный балл

 Небольшое уточнение с «ошибка или описка» до «ошибки или описки» подчеркивает тот факт, что 1 балл допускается ставить в тех случаях, когда единственная вычислительная ошибка (описка) стала причиной того, что неверен ответ.
К вычислительным ошибкам не относятся ошибки в формулах при решении квадратного уравнения, действиях с числами с разными знаками, упрощении выражений со степенями и корнями и т.д.