Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 17 февраля 2018 г.

Найдите заданный член геометрической прогрессии



Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной геометрической прогрессии. Напомним некоторые факты.
Определение. Числовая последовательность b1, b2,b3, …, bn, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bn* q, где q – некоторое число.
Основное (характеристическое) свойство геометрической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то есть
(bn)2= bn-1 * bn+1 .
 Формула n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*qn-1.

Задача 1. Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 125; − 100; 80; … Найдите её пятый член.

пятница, 2 февраля 2018 г.

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны



Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства
биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.
Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.
Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

пятница, 26 января 2018 г.

Трапеция в треугольнике



Рассмотрим ещё одну интересную задачу, предлагавшуюся на ЕГЭ под номером 16, то есть за ее правильное решение дается 3 первичных балла. В этой задаче полуокружность, вписанная в прямоугольный треугольник является причиной возникновения трапеции, площадь которой и необходимо найти.
Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка Р. Окружность с центром О и диаметром СР касается гипотенузы в точке К.
а) Докажите, что прямые РК и ОВ параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника ВОРК, если СК=4 и АР:РС=1:3.


Решение. а) Поскольку прямая ВС проходит через точку С окружности и перпендикулярна радиусу ОС, то ВС- касательная к данной окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая ВО перпендикулярна прямой СК. Так как ОК – радиус, проведенный в точку касания, то ОК перпендикулярен АВ. Угол РКС – вписанный и опирается на диаметр РС, значит угол РКС – прямой. Так как прямая ВО перпендикулярна СК и прямая РК перпендикулярна прямой СК, то они параллельны.

Найти сумму арифметической прогрессии



Продолжим решать задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ на прогрессии. Рассмотрим те, в которых необходимо найти сумму первых нескольких членов заданной арифметической прогрессии.
Напомним формулы.
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии
Sn = (а1 + аn)n /2.
Sn =(2а1 +( n −1)d)n/2.
Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 6; 10; 14; … Найдите сумму первых пяти её членов.
Решение. Из условия имеем а1=6. Разность арифметической прогрессии d = а2 а1 = 106 = 4. По второй формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии находим сумму первых пяти (n=5):
S5 =(2*6 +(5 −1)*4)*5/2=70.
Ответ: 70.
Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 0,6 и a1=6,2. Найдите сумму первых шести её членов.

Все на старт



Рассмотрим серию задач на движение из открытого банка ФИПИ по математике. Задача, решение которой рассматривается подробно, предлагалась на государственных экзаменах в 2017 году. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.
Задача 1. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.
Решение. 1 способ (приведен в критериях оценивания задания).
Пусть скорость первого бегуна равна v км/ч, тогда скорость второго v+11 км/ч, а длина круга равна 40(v+11)/60 км.
Получаем уравнение:
40(v+11)/60 – 4 = v;
2(v+11) – 12 = 3v, откуда v=10.
Ответ: 10 км/ч.

среда, 24 января 2018 г.

Биссектриса делит высоту треугольника



Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе под номером 26. В решении этих задач используются свойства биссектрисы треугольника и теорема синусов.

Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.
Решение. 1 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.
Рассмотрим треугольник АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Отсюда, по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике cosА=АН:АВ=24:25=0,96. Из основного тригонометрического тождества находим
sin2А=1 – cos2А= 1 – 0,962= 0,0784.
sinА=0,28.

вторник, 23 января 2018 г.

Найдите число в арифметической прогрессии



Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.
Определение. Числовая последовательность а1, а2, а3, …, аn, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство аn = аn + d, где d – некоторое число.
Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.
аn = (аn-1 + аn+1)/2.
 Формула n-го члена арифметической прогрессии
аn = а1 +( n −1)d.
Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

пятница, 12 января 2018 г.

В окружность вписан треугольник



Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе. В решении этих задач используются свойства вписанных в окружность углов, свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике и свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение. Продолжим радиус АО до пересечения с окружностью в точке К. Соединим отрезками точку К с точками В и С.
Рассмотрим треугольник АВК, в нем угол АВК – прямой, так как вписанный угол АВК опирается на диаметр АК. Из вершины В треугольника АВК опущена высота на гипотенузу АК. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВ2=АР*АК или АР*АК = 182.

воскресенье, 7 января 2018 г.

Спортивные соревнования и спортивные нормативы



Спортивные соревнования различных видов, спортивные нормативы тоже представлены на ОГЭ по математике в 9 классе. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ, в которых надо уметь определять отметки по результатам соревнований и данным нормативам. В заданиях такого вида чаще всего учащиеся делают ошибки из-за спешки, забывая, что чем меньше время бега, тем выше оценка. Вторая ошибка, которая часто встречается – вместо номера правильного ответа пишется сама отметка.
Задача 1. В таблице приведены нормативы по бегу на 60 метров для учащихся 9 класса.

Мальчики
Девочки
Отметка
«5»
«4»
«3»
«5»
«4»
«3»
Время (в секундах)
8,5
9,2
10,0
9,4
10,0
10,5
Какую отметку получит девочка, пробежавшая 60 метров за 9,52 секунды?
1) 
Отметка «5»
2)
Отметка «4»
3)
Отметка «3»
4)
Норматив не выполнен
Решение. Смотрим на нормативы девочек. Так как 9,4<9,52<10,0, то отметка «4».
Ответ 2.