Гудок тепловоза и эффект Доплера

В этой  серии задач из открытого банка ФИПИ с практическим (физическим) содержанием необходимо уметь работать с алгебраическими дробями, производить преобразования этих дробей. А также делать не очень сложные вычисления с десятичными дробями.

Во всех задачах, представленных ниже, используется формула для расчёта частоты гудка тепловоза

  , формула (1). Здесь c — скорость звука в звука (в м/с).

Задание №41897  Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0=447 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (1). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 3 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=315 м/с. Ответ выразите в м/с.

Решение. Подставляя все данные в формулу (1), получаем

В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

В правильной четырёхугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости АВВ₁ точки В и Е принадлежат и плоскости BED​₁. Значит плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит, плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по прямой ED​₁.

Так как плоскости ADD₁ и ВСС₁ параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС₁ прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Насосы, грядки и заборы

В этой небольшой серии задач из открытого банка ФИПИ основным показателем является производительность. Производительность насосов (какую часть ёмкости наполняют за единицу времени), производительность маляров, красящих забор, производительность любителей поработать на даче. Кто-то работает быстрее, кто-то медленнее, а потом собираются и работают вместе. Вместе – веселее и быстрее. Ну и нам тоже пожелаем хорошего настроения и удачи!

Задание №99615  Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.

Первый насос за 1 минуту наполняет 1/20 бака.

Второй насос за 1 минуту наполняет 1/30 бака,

Третий насос за 1 минуту наполняет 1/60 бака,

Работая одновременно, они за 1 минуту наполнят 1/20+1/30+1/60 = (3+2+1)/60=6/60=1/10 бака. Чтобы заполнить полностью бак потребуется 10 минут.

Ответ 10.

Задание №99616  Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.

Из пункта A выехали два автомобиля

В этом блоке мы продолжаем публиковать задачи на движение из открытого банка ФИПИ. Сегодня из пункта А в пункт В едут автомобили с разными скоростями, но в одном направлении. Все благополучно прибывают в пункт назначения, но в разное время. Они ездят, а нам задачи решать. Ведь на ЕГЭ они тоже ездят и по тому же маршруту. Удачи!

Задание №39009  Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 26 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 39 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х – скорость первого автомобиля,

тогда х+39 скорость второго автомобиля на второй половине пути.

Обозначим весь путь через 2S. Тогда

2S/х - время первого автомобиля,

S/26 - время второго автомобиля на первой половине пути,

S/(х+39) время второго автомобиля на второй половине пути. Прибыли автомобили в В одновременно, поэтому получаем уравнение

Двое рабочих, кто больше, кто быстрее?

Приводим серию задач из открытого банка ФИПИ на выполнение рабочими определённой работы. Кто-то работает быстрее, кто-то медленнее, а нам приходится считать и решать, сравнивать объём выполненной работы, затраченное время и производительность. Кстати, производительность – это количество работы, производимой за единицу времени ( за час, за минуту, за день и т.д.). Удачи!

Задание №39571  Заказ на 255 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Решение.

Пусть х деталей в час делает второй рабочий (его производительность),

Тогда х+2 деталей в час делает первый рабочий.

255/х – время, затраченное вторым рабочим на выполнение всего заказа.

255/(х+2) – время, затраченное первым рабочим на выполнение всего заказа. Так как первый тратит времени на 2 часа меньше, то получаем уравнение

Решения логарифмических неравенств повышенного уровня

Рассмотрим решения логарифмических неравенств повышенного уровня сложности, подобные неравенства могут быть на профильном ЕГЭ по математике под номером 15. При решении этих неравенств обязательно надо находить область допустимых значений аргумента, учитывая ограничения у логарифмов: выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля, основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Внимательно разбираться с каждым логарифмом.

Но решать эти неравенства можно и нужно. Они порой страшны на вид и громоздки, но вполне решабельны. Дорогу осилит идущий!

Начнём с более простых неравенств, постепенно увеличивая сложность от задания к заданию. Все неравенства из сборника «ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий» под редакцией И.В.Ященко.

Найдите скорость велосипедиста

 А в этих задачах велосипедист катается один. Второй, видимо, отдыхает. Только нам уже отдыхать некогда. Экзамены на носу.

Задание №39177  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 204 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х – скорость велосипедиста из А в В,

тогда х+5 скорость велосипедиста на обратном пути,

204/х время затраченное велосипедистом на путь из А в В,

204/(х+5) время велосипедиста на обратном пути (без учёта остановки). Получаем уравнение

204/х =5+204/(х+5), умножив обе части уравнения на общий знаменатель х(х+5), получим

204(х+5) = 5х(х+5)+204х,

Два велосипедиста отправились в пробег

Сегодня представляем серию задач на движение из открытого банка ФИПИ. Начнём с легких видов транспорта, с велосипедов.

Задание №39259  Два велосипедиста одновременно отправились в 104-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 5 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х – скорость первого велосипедиста,

тогда х-5 скорость второго велосипедиста,

104/х время первого велосипедиста,

104/(х-5) время второго велосипедиста. Второй затратил времени на 5 часов больше, поэтому получаем уравнение

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим серию задач на нахождение угла между прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде. Для решения этих задач необходимо внимательно разобраться с условием, аккуратно сделать чертёж, соответствующий условию. Вспомнить определение угла между прямой и плоскостью, теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​₁B₁C₁D₁​  AB=2, AD=AA​₁=1. Найдите угол между прямой A​₁B₁ и плоскостью AB​₁D₁.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим серию простых стереометрических задач, предлагаемых открытым банком ФИПИ, для подготовки к ЕГЭ. Эти задачи доступны для решения учащимся 10 классов, после прохождения темы прямоугольный параллелепипед.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁=2, C₁D₁=6, B₁C₁=3. Найдите длину диагонали AC₁.

Решение. По свойству прямоугольного параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). В нашем случае AC₁²= АD²+ DС²+ D₁D² = 3²+6²+2² = 9+36+4=49. AC₁ = 7.

Ответ 7.

Вспомним, что в любом прямоугольном параллелепипеде можно только провести четыре диагонали, все они равны (в нашем случае AC₁= ВD₁= DВ₁= СА₁). И все диагонали пересекаются в одной точке.

Задания для самостоятельной работы.

Определить время торможения

Тормозим. Иногда дома, бывает и в школе, на работе. Но сегодня тормозим на

автомобиле. Измеряем тормозной путь и находим время торможения. Опять проведём расчёты для конкретных задач. И снова показываем умение решать квадратные уравнения и производить не сложные вычисления. Задачи из открытого банка ФИПИ (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ).

Задание №41571  Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v₀=23 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=2 м/с². За t секунд после начала торможения он прошел путь S=v₀t−at²/2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ выразите в секундах.

Решение. Подставляем все данные в формулу и получаем квадратное уравнение

132=23t −2t²/2 или 132=23t − t² перенесём всё в правую часть уравнения.

t² −23t +132=0.                 

Углы между прямыми в кубе

Рассмотрим решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.

Перед тем, как мы приступим к решению первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

За­да­ние 1. Точка E — се­ре­ди­на ребра CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

Ре­ше­ние.

По условию, задача верна для любого куба. Для того чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2 единицам. Тогда CE=1 .

 Пря­мая AD па­рал­лель­на пря­мой BC, зна­чит, угол между пря­мы­ми BE и AD равен углу CBE.

 Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBE с пря­мым углом С имеем:

tg ÐCBE = CE: CB =1:2 =0,5,

тогда ÐCBE = arctg0,5.

 Ответ: arctg0,5.

Перед решением второй задачи напомним теорему косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Мотоциклист в зоне сотовой связи

Часто нам очень важно оставаться на связи. Поэтому надо знать возможности вашего оператора. Здесь мы проведём расчёты для конкретных задач. И опять надо уметь решать квадратные уравнения и производить не сложные вычисления. Задачи из открытого банка ФИПИ (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ).

Задание №41527  Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀=58 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=8 км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S=v₀t+at²/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Решение. Подставляем все данные в формулу и получаем квадратное уравнение

30=58t +8t²/2 или 30=58t +4t² перенесём всё в правую часть уравнения.