В правильной четырёхугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости АВВ₁ точки В и Е принадлежат и плоскости BED​₁. Значит плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит, плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по прямой ED​₁.

Так как плоскости ADD₁ и ВСС₁ параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС₁ прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Заметим, что в сечении у нас получился ромб РBED​₁, так как прямоугольные треугольники EА₁D​₁, РС₁D​₁, РВС, АВЕ равны. Равны и их гипотенузы. ED​₁= D​₁Р = ВР =ВЕ.

Для того, чтобы найти расстояние от вершины A до плоскости BED​₁, надо провести перпендикуляр из вершины A на плоскость BED​₁. Для этого продолжим прямую ED​₁ до пересечения с прямой AD в точке К. (Обе прямые лежат в плоскости ADD₁).  Так как точки В и К принадлежат плоскости АВС и плоскости BED​₁, то эти плоскости пересекаются по прямой ВК.

Теперь в треугольнике АВК из вершины А проведём перпендикуляр АМ к стороне ВК. Соединив точки М и Е, получим треугольник АМЕ. В нём проведём высоту АН. Докажем, что АН и есть расстояние от точки А до плоскости BED​₁.

Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания АВС, то плоскость АМЕ перпендикулярна плоскости АВС по признаку перпендикулярности плоскостей.

Прямая АА₁ перпендикулярна прямой ВК (АА₁ перпендикулярна плоскости АВС, а значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости). По построению АМ перпендикулярна ВК. Мы получили, что прямая ВК перпендикулярна двум пересекающимся прямым АА₁ и АМ в плоскости АМЕ. Значит, ВК перпендикулярна плоскости АМЕ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Из этого следует, что ВК перпендикулярна АН. По построению АН перпендикулярна МЕ. АН перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВК и МЕ в плоскости ВКЕ. Значит, АН перпендикулярна плоскости ВКЕ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Что и требовалось доказать.

Теперь надо найти, чему равна длина отрезка АН.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

2.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

3.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

4.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

5.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 2. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED_​1.