Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 20 февраля 2016 г.

В правильной четырёхугольной призме



В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  
Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания
равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED1. На плоскости АВВ1 точки В и Е принадлежат и плоскости BED1. Значит плоскости АВВ1 и BED1 пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD1 также есть две общие точки с плоскостью BED1, это Е и D1. Значит, плоскости ADD1 и BED1 пересекутся по прямой ED1.
Так как плоскости ADD1 и ВСС1 параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED1 параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС1 прямую ВР параллельно ED1. Осталось соединить точки Р и D1 в плоскости DСС1.

Заметим, что в сечении у нас получился ромб РBED1, так как прямоугольные треугольники 1D1, РС1D1, РВС, АВЕ равны. Равны и их гипотенузы. ED1= D1Р = ВР =ВЕ.
Для того, чтобы найти расстояние от вершины A до плоскости BED1, надо провести перпендикуляр из вершины A на плоскость BED1. Для этого продолжим прямую ED1 до пересечения с прямой AD в точке К. (Обе прямые лежат в плоскости ADD1).  Так как точки В и К принадлежат плоскости АВС и плоскости BED1, то эти плоскости пересекаются по прямой ВК.

Теперь в треугольнике АВК из вершины А проведём перпендикуляр АМ к стороне ВК. Соединив точки М и Е, получим треугольник АМЕ. В нём проведём высоту АН. Докажем, что АН и есть расстояние от точки А до плоскости BED1.
Так как ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания АВС, то плоскость АМЕ перпендикулярна плоскости АВС по признаку перпендикулярности плоскостей.
Прямая АА1 перпендикулярна прямой ВК (АА1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости). По построению АМ перпендикулярна ВК. Мы получили, что прямая ВК перпендикулярна двум пересекающимся прямым АА1 и АМ в плоскости АМЕ. Значит, ВК перпендикулярна плоскости АМЕ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Из этого следует, что ВК перпендикулярна АН. По построению АН перпендикулярна МЕ. АН перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВК и МЕ в плоскости ВКЕ. Значит, АН перпендикулярна плоскости ВКЕ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Что и требовалось доказать.
Теперь надо найти, чему равна длина отрезка АН.


Задачи для самостоятельного решения.
1.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
2.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
3.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
4.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 1. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.
5.      В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 2. Точка E  середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.