Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 27 февраля 2016 г.

В правильной треугольной призме



В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 
Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB1.
Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ1. Это треугольник АDВ1. Секущая плоскость ADB1 имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B1D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ1. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

Заметим, что треугольники КСD и DВ1С1 равны ( они прямоугольные, С1D = DС по условию, углы С1DB1 и СDК – вертикальные). Значит СК = B1С1 = АС. Треугольник АСК – равнобедренный, угол САК равен углу СКА и равен 30 градусам (угол АСВ внешний угол треугольника АСК и равен сумме углов САК и СКА).  Проведём высоту СМ. В треугольнике СМК катет МС равен половине гипотенузы КС, значит СМ = 0,5.
Соединив точки М и D, получим прямоугольный треугольник М. В нём проведём высоту СН. Докажем, что СН и есть расстояние от точки А до плоскости АDВ1. Так как прямая АК перпендикулярна МС, то АК перпендикулярна  и МD по теореме о трёх перпендикулярах. Значит, АК перпендикулярна плоскости DМС и прямой НС. Но НС перпендикулярна МD, значит и плоскости АDК (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).


Задачи для самостоятельного решения.
1.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.
2.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.
3.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.
4.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.
5.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D  середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB1.

Комментариев нет:

Отправить комментарий