В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

Заметим, что треугольники КСD и DВ₁С₁ равны ( они прямоугольные, С₁D = DС по условию, углы С₁DB₁ и СDК – вертикальные). Значит СК = B₁С₁ = АС. Треугольник АСК – равнобедренный, угол САК равен углу СКА и равен 30 градусам (угол АСВ внешний угол треугольника АСК и равен сумме углов САК и СКА).  Проведём высоту СМ. В треугольнике СМК катет МС равен половине гипотенузы КС, значит СМ = 0,5.

Соединив точки М и D, получим прямоугольный треугольник МDС. В нём проведём высоту СН. Докажем, что СН и есть расстояние от точки А до плоскости АDВ​₁. Так как прямая АК перпендикулярна МС, то АК перпендикулярна  и МD по теореме о трёх перпендикулярах. Значит, АК перпендикулярна плоскости DМС и прямой НС. Но НС перпендикулярна МD, значит и плоскости АDК (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Задачи для самостоятельного решения.

1.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​₁.

2.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​₁.

3.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​₁.

4.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​₁.

5.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​₁.