Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 6 февраля 2016 г.

Неравенства базового уровня



В этой статье рассмотрим решение заданий, которые предлагаются на базовом ЕГЭ о математике под номером 17. Задания из открытого банка заданий (базовый уровень), расположенного на сайте ФИПИ. Здесь необходимо уметь находить решения простых квадратных, показательных, логарифмических, дробно-рациональных уравнений.
Задание 1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

 Решение. Рассмотрим первое неравенство. Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель этой дроби имеют разные знаки. Но у нас в знаменателе стоит квадрат какого-то числа, а он всегда неотрицателен (больше нуля или равен нулю). Но так как на нуль делить нельзя, то х не может равнять трём и (х – 3)2>0. Значит, числитель должен быть отрицательным

х – 5 <0 или х  < 5. Соответствующий ответ находится под номером 4.
Рассмотрим второе неравенство. Показательное. Одна двадцать пятая, это пять в минус второй степени и мы имеем 5–х+1<5–2, отсюда –х+1<–2 или –х <–3. Умножая обе части неравенства на –1 и меняя знак неравенства, получаем ответ х>3. Соответствующий ответ находится под номером 2.

Рассмотрим третье неравенство. Оно решается методом интервалов.
Уравнение (х –3)(х –5)=0 имеет корни 3 и 5. Отметим их на числовой оси и расставим знаки, которые принимает выражение (х –3)(х –5) на соответствующих числовых промежутках.
То есть все решения задаются неравенствами х<3 и х>5. Соответствующий ответ находится под номером 1.
Рассмотрим четвёртое неравенство. Так как выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть положительным, то х–3>0 или х>3, то есть логарифм имеет смысл только при х>3. Это область определения данного логарифма.
Теперь решаем неравенство, заменив 1 на log22.
log2(х –3) < log22, так как основание логарифма 2 >1, то знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям, стоящим под знаками логарифмов. Получаем
х –3 < 2, х< 5. С учётом области определения логарифма х>3 получаем 3<х< 5. Соответствующий ответ находится под номером 3. Заносим ответы в таблицу.
А
Б
В
Г
4
2
1
3



Ответ 4213.

Задание 2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.
Решение. Область определения логарифма log2х: х>0.  
Рассмотрим первое неравенство log2х >1. Заменим 1 на log22. Получим
log2х < log22. Так как основание логарифма 2 >1, то знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям, стоящим под знаками логарифмов. Получаем
х > 2. Все решения входят в область определения логарифма х>0. Соответствующий ответ находится под номером 4.
Рассмотрим второе неравенство log2х < – 1. Заменим – 1 на log20,5. Получим
log2х < log20,5. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем
х < 0,5. С учётом области определения  х>0 получаем 0<х< 0,5. Соответствующий ответ находится под номером 1.
Рассмотрим третье неравенство log2х > – 1. Заменим – 1 на log20,5. Получим
log2х > log20,5. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем
х > 0,5. Все решения входят в область определения логарифма. Соответствующий ответ находится под номером 2.
Рассмотрим четвёртое неравенство log2х <1. Заменим 1 на log22. Получим
log2х < log22. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем
х < 2. С учётом области определения логарифма х>0 получаем 0<х< 2. Соответствующий ответ находится под номером 3.
А
Б
В
Г
4
1
2
3



Ответ 4123.

Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.  Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения. 

Задание 2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.






Задание 3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.



Задание 4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.




Задание 5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.


Задание 6.
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.


 Задание 7.
 Задание 8.


 Задание 9.


Задание 10.