Угол между плоскостями

В приведённой ниже подборке заданий из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение углов между плоскостями в правильной треугольной призме. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  Для того, чтобы найти двугранный угол (угол между двумя плоскостями, надо найти его линейный угол. Линейный угол образован перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными из одной точки, но в разных полуплоскостях (гранях).

Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 4, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость имеет с основанием АВС общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Найдём еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для основания АВС и плоскости АDВ₁. Значит эти плоскости пересекаются по прямой АК.

В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

В правильной четырёхугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости АВВ₁ точки В и Е принадлежат и плоскости BED​₁. Значит плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит, плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по прямой ED​₁.

Так как плоскости ADD₁ и ВСС₁ параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС₁ прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим серию задач на нахождение угла между прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде. Для решения этих задач необходимо внимательно разобраться с условием, аккуратно сделать чертёж, соответствующий условию. Вспомнить определение угла между прямой и плоскостью, теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​₁B₁C₁D₁​  AB=2, AD=AA​₁=1. Найдите угол между прямой A​₁B₁ и плоскостью AB​₁D₁.

Модуль «Геометрия»

4 этап.  Модуль «Геометрия». Тест «Прогулка по

плоскости». 8-9 классы

Задания от Вероятки Невозможновой.

 Дорогие друзья, вот мы и добрались до третьего теста, состоящего из задач по планиметрии. Треугольники, четырёхугольники, окружности, тригонометрические функции присутствуют на ГИА по математике в модуле Геометрия.  Поэтому мы и предлагаем вам для решения серию планиметрических задач подобных тем, которые будут на ГИА по математике. Задачи не сложные, но требуют внимательности и знания свойств геометрических фигур и их элементов. Удачи вам!

1. Площадь прямоугольного земельного участка равна 14 га, ширина участка равна 250 м. Найдите длину этого участка в метрах.

2. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?