Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

среда, 3 февраля 2016 г.

Квадраты на катетах треугольника



Тренировочная работа №13. Задание 16.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что
CM перпендикулярна DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.

Решение.
а) Треугольники АВС и DСK равны, так как ÐDСK = ÐАСВ = 90°, DС=АС – стороны одного квадрата, КС=ВС – стороны другого квадрата.

Из равенства треугольников АВС и DСK вытекает равенство углов ВАС и СDK, АВС и DKС. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то СМ=АМ=ВМ. Треугольники АМС и ВМС равнобедренные, а значит углы МАС и АСМ равны, углы МВС и ВСМ тоже равны. Заметим, что угол МСВ равен углу DСН – вертикальные.
В треугольнике АВС Ð1 + Ð2 = 90°, значит в треугольнике DСН тоже Ð1 + Ð2 = 90°. Из этого вытекает, что ÐDНС = 90°. Первое утверждение доказано.
б) По теореме Пифагора находим гипотенузу АВ, АВ2=ВС2+АС2= 900+1600=2500. Значит ДК = АВ = 50.
СМ = 0,5
АВ = 25. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВС следует, что DС2 = DН * DК,
302=
DН * 50,
900 =
DН * 50,
DН = 900/50= 18
НК = 50 – 18 = 32.
СН2= DН*НК = 18*32 = 9*16*4.
СН = 3*4*2 = 24
МН = 24+25=49
Ответ 49.

Комментариев нет:

Отправить комментарий