Геометрический смысл производной.

 Вспомним, что любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением y = kx + b, где k - некоторое число, называемое угловым коэффициентом прямой,  b – некоторое число.

Далее, вспомним, что все прямые с одним и тем же угловым коэффициентом параллельны. Если  b =0, то прямая проходит через начало координат. На рисунке справа изображены четыре параллельные прямые с угловым коэффициентом k, одна из них y = kx проходит через начало координат.

Например, на следующем графике приведены четыре прямые с угловым коэффициентом k = 2 :  

y = 2x + 12, 

 y = 2x + 4,  

y = 2x,  

y = 2x – 4.

 Углом наклона прямой y = kx+b называют угол a, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y = kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).

 Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, k = tgα .

На рисунке прямая y = 2x + 12 образует с осью абсцисс угол ВАО, а прямая y = 2x  угол КОС. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника АВО находим tgВАО = ВО:АО = 12:6 = 2. Из треугольника КОС находим tgКОС = КС:ОС = 8:4 = 2. Мы ещё раз проверили, что угловые коэффициенты у параллельных прямых равны.

 Теперь рассмотрим все возможные случаи. Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y = b. На рисунке красным цветом изображены прямые y = 5, y = 1, y = -3.

В случае, когда α = 90° прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x = c, где c - некоторое действительное число. На рисунке голубым цветом изображены прямые х = 3, х = -3.

 Когда угол наклона прямой y = kx+b является острым ( 0°< α <90°), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла α принимает положительные значения tgα>0) и указывает на возрастание графика прямой.

Когда угол наклона прямой y = kx+b является тупым (90°< α < 180° ), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой. Это вытекает из того, что тангенс тупого угла отрицателен. Для нахождения тангенса угла наклона в этом случае необходимо использовать формулу tg(180° – α) = - tgα. Поэтому на рисунке мы найдём тангенс угла АВО, tgАВО = АО:ОВ =6:8 = 0,75. Значит угловой коэффициент прямой k = tgα = - 0,75.

Касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀ называют прямую, проходящую через точку (х₀, f(x₀)), причём эта точка единственная общая точка функции и прямой в некоторой окрестности данной точки. На рисунке прямая y = kx+b касается графика функции y = f(x) в точке х_0.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции y = f(x) в точке х₀ равно тангенсу угла наклона касательной l, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой х₀, то есть k = tgα = f'(x₀) - угловой коэффициент прямой l.

Уравнение касательной прямой.

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке x₀. То есть, из геометрического смысла производной функции в точке мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид   

 y = f'(x₀)(х – х₀) + f(x₀)

 

Рассмотрим примеры из открытого банка заданий по математике ЕГЭ 2013. Сайт mathege.ru.

Задание B8 (№ 6007)

Прямая у = 7х - 5 параллельна касательной к графику функции у = х² + 6х - 8. Найдите абсциссу точки касания.

Решение. Поскольку касательная параллельна прямой  у = 7х – 5, значит её угловой коэффициент равен 7. По геометрическому смыслу производной  k = f'(x₀). Таким образом, чтобы найти абсциссу точки касания, мы должны найти производную функции и приравнять её к 7.

Находим производную: у' = (х² + 6х – 8)' = 2х + 6.

Приравниваем к 7, получаем 2х + 6= 7, 2х = 1, х = 0,5. Таким образом мы нашли, что касательная к графику функции у = х² + 6х – 8, проведённая в точке х = 0,5, будет параллельна прямой у = 7х – 5.

Ответ 0,5.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 6009)

Прямая у = 6х + 8  параллельна касательной к графику функции у = х² - 3х + 5. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ 4,5.

Задание B8 (№ 6011)

Прямая у = 7х + 11  параллельна касательной к графику функции у = х² + 8х + 6 . Найдите абсциссу точки касания.

Ответ -0,5.

Задание B8 (№ 6013)

Прямая у = 4х + 8  параллельна касательной к графику функции у = х² - 5х + 7 . Найдите абсциссу точки касания.

Ответ 4,5.

Задание B8 (№ 6015)

Прямая у = 3х + 6  параллельна касательной к графику функции у = х² - 5х + 8. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ 4.

(продолжение следует)