Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 22 декабря 2012 г.

Касательная.



Геометрический смысл производной (продолжение).

 Касательная.

Рассмотрим дальше примеры из открытого банка заданий по математике ЕГЭ. Сайт mathege.ru.

1. Задание B8 (№ 6067)

Прямая у = - 5х + 14 параллельна касательной к графику функции у = х3 + 3х2 - 2х + 15. Найдите абсциссу точки касания.

 Решение. Поскольку касательная параллельна прямой  у = - 5х + 14, значит её угловой коэффициент равен - 5. По геометрическому смыслу производной  k = f'(x0). Таким образом, чтобы найти абсциссу точки касания, мы должны найти производную функции и приравнять её к - 5.
Находим производную: у' = (х3 + 3х2 - 2х + 15)' = 3х2 + 6х - 2.
Приравниваем к - 5, получаем 2 + 6х - 2= - 5, 3х2 + 6х + 3 = 0. Делим обе части уравнения на 3, получаем х2 + 2х + 1 = 0. Это уравнение имеет один корень х = - 1. Таким образом мы нашли, что касательная к графику функции у = х3 + 3х2 - 2х + 15, проведённая в точке х = - 1, будет параллельна прямой у = - 5х + 14.
Ответ - 1.


Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 6069)

Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции у = х3 + 3х2 + 6х + 8. Найдите абсциссу точки касания.
Ответ - 1.

Задание B8 (№ 6071)

Прямая  у = 3х - 8 является касательной к графику функции у = х3 - 3х2 + 6х - 9 . Найдите абсциссу точки касания.
Ответ  1.

ВНИМАНИЕ!!! На задаче В8 легко потерять балл из-за невнимательности. Очень часто  график производной принимают за график функции и наоборот.
2.  Рассмотрим задачи, в которых функция задана графически, то есть изображён график заданной функции.

Задание B8 (№ 6421)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (- 5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 6.
Решение. Что означает «касательная параллельна прямой  у = 6»? Это означает, что касательная параллельна оси ОХ и её угловой коэффициент равен нулю. Из геометрического смысла производной следует, что в этих точках производная функции рана нулю. Это стационарные точки: точки локального максимума или минимума или точки перегиба. В данном случае таких точек 4 (две точки локального максимума и две точки локального минимума).
Ответ 4.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 7097)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале(- 3;11) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у =- 11.
Ответ 7.

Задание B8 (№ 7099)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале(- 2;12) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 7 .
Ответ 7.



3. В следующих примерах функция тоже задана графически, в заданной точке проведена касательная.

Задание B8 (№ 9053)

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .
Решение. Обратим внимание на то, что кроме точки х0 на касательной отмечены ещё две точки с целочисленными координатами. Обозначим их буквами А и С. Считая отрезок АС за гипотенузу, построим треугольник АВС с катетами, параллельными осям координат. Это необходимо для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной, т.е. тангенс угла САВ. Он равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС. Но катет ВС состоит из двух единичных отрезков, а АС из восьми. Таким образом тангенс угла САВ равен отношению 2 к 8, или 0,25. По геометрическому смыслу производной: значение производной функции f(x) в точке х0 равно 0,25.
Ответ 0,25.

Вторая задача отличается тем, что линейная функция, графиком которой является касательная, убывает. Значит её угловой коэффициент отрицательный.

Задание B8 (№ 9051)

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .
Решение. Также обратим внимание на то, что кроме точки х0 на касательной отмечены ещё две точки с целочисленными координатами. Обозначим их буквами А и С. Считая отрезок АС за гипотенузу, построим треугольник АВС с катетами, параллельными осям координат. Это необходимо для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной, т.е. тангенс угла САВ. Он равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС. Но катет ВС состоит из двух единичных отрезков, а АС из восьми. Таким образом тангенс угла САВ равен отношению 2 к 8, или 0,25. По геометрическому смыслу производной: значение производной функции f(x) в точке х0 равно - 0,25.
Ответ - 0,25.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 9055)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .


Задание B8 (№ 9057)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .


Задание B8 (№ 9059)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .



Задание B8 (№ 9061)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .




Задание B8 (№ 9063)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .




1 комментарий:

  1. Ответы:
    Задание B8 (№ 9055): 0,5
    Задание B8 (№ 9057): -0,25
    Задание B8 (№ 9059): -0,25
    Задание B8 (№ 9061): 0,25
    Задание B8 (№ 9063): 1

    ОтветитьУдалить