Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 31 марта 2013 г.

Задачи на смеси и сплавы. Часть 1.



При решении текстовых задач на смеси и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (граммах, литрах и т.д.).
Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объему) смеси, т.е.
относительное содержание = абсолютное содержание/ общая масса
Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием, а абсолютное содержание – количеством  чистого вещества.

Помни:
·        Масса раствора равна сумме масс жидкости, в которая служит основой раствора (например, воды) и растворяемого вещества (например, соли).
·        Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.
·        Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.
·        Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси. Концентрация вещества может быть указана и числом и %.
·        Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.
Простейшие примеры и задачи:
1.     Выражение молоко имеет 3,5 % жирности означает, что в100 г молока содержится 3,5 г жира. Соответственно в 1 кг молока – 35 г жира.

2.     Надпись на емкости «9% раствор уксуса» означает, что в100 г этого раствора содержится 9 г уксусной кислоты. Соответственно в 1 кг – 90 г уксусной кислоты.
3.     Условие «концентрация раствора 3 %» означает, что в100 г раствора содержится 3 г вещества.
4.     Выражение золотое кольцо имеет 583 пробу означает, что в 1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота.
5.     Сколько сахара содержится в 200 граммах 10%- го сахарного сиропа? Ответ 20 грамм.
6.     Если к одной части сахара прибавить 4 части воды, то концентрация полученного раствора будет равна 20%. (1 часть сахара + 4 части воды = 5 частей раствора, то есть сахар составляет 1/5 от всего раствора, от 100%. 100% : 5· 1 = 20%).
7.     Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора? Соль составляет десятую часть от всего раствора. Ответ 10%.

Пример раствора.  Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим расствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200)http://viripit.ru/mate/zumn.gif100 = 10%,
Процентное содержание воды - (180 : 200)
http://viripit.ru/mate/zumn.gif100 = 90%.
Результаты запишем в виде таблицы.
вода
180
90%
соль
20
10%
раствор
200
100%
Пример смеси. Готовим цементный раствор. Возьмем 10 кг цемента и 30 кг песка, высыплем в окорёнок и тщательно перемешаем. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 10 + 30 = 40 кг.
Концентрация цемента - (10 : 40)http://viripit.ru/mate/zumn.gif100 = 25%,
Процентное содержание песка - (30 : 40)
http://viripit.ru/mate/zumn.gif100 = 75%.
Результаты запишем в виде таблицы.
цемент
10
25%
песок
30
75%
смесь
40
100%

Рассмотрим первый алгоритм решения задач.
Арифметический способ решения
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
1)    подсчитать абсолютные содержания компонентов каждой  смеси;
2)    сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонентов полученной смеси;
3)    найти массу полученной смеси;
4)    подсчитать относительное содержание компонентов полученной смеси.
5)    Записать ответ.
Задача 1.
Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение.
1)    300 •20 : 100 = 60 (г) - абсолютное содержание олова в первом сплаве,                              
2)    200 • 40 : 100 = 80 (г) - абсолютное содержание олова во втором  сплаве;                      
3)    60 + 80 = 140 (г) -  абсолютное содержание олова   в двух сплавах вместе;
4)    200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;
5)    140 : 500 • 100 = 28% - относительное содержание содержится олова после сплавления.
Ответ: 28%.

Проверь себя!
1.     Смешали 300 грамм 50%-го и 100 грамм 30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
2.     Имеется чай двух сортов – по 80рублей и по 120рублей за 1кг. Смешали 300г первого и 200 г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси.
3.     (Из «Арифметики» А.П. Киселева) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8к., 20фунтов по 7к. и 25 фунтов по 4к. за фунт. Что стоит фунт смеси?
4.     Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.
5.     Смешали 4 кг 15%-ного раствора соли с 5 кг 20%-ного соли к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

Ответы 45%; 9,6 рубля; 6 копеек; 35%; 16%.

Задача 5. Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода это раствор, содержащий 0 кг соли.

1-й раствор
2-й раствор
3-й раствор
смесь
вода





100%


соль

15%

20%

0%


расствор
4 кг
100%
5 кг
100%
1 кг
100%


Концентрация раствора - это отношение массы соли к массе раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно решить три следующие задачи:
а) найти массу соли в каждом из трех растворов;
б) найти массу соли в смеси;
в) найти массу смеси;
г) найти отношение массы соли, содержащейся в смеси и массы самой смеси и выразить это отношение в процентах.
1. Объем соли в 1-м растворе. 4http://viripit.ru/mate/zumn.gif 0,15 = 0,6 (кг);
2. Объем соли в 2-м растворе .  5http://viripit.ru/mate/zumn.gif0,2 = 1 (кг);
3. Объем соли в смеси.  0,6 + 1 + 0 = 1,6 (кг);
4. Объем смеси.  4 + 5 + 1 = 10 (кг);
5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)http://viripit.ru/mate/zumn.gif100 =16%.
Ответ: 16%.