Найдите площадь параллелограмма

 

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 6. Задание 25.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

 Решение.

Построим параллелограмм АВСD и окружность, вписанную в треугольник АВС с центром О. По условию АО=25, ОН=17, ОК=7. Вспомним, что центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения его биссектрис, поэтому   АО, ВО и ОС – биссектрисы углов ВАС, АВС и ВСА. Радиусы ОК, ОЕ и ОР соответственно перпендикулярны касательным АС, АВ и ВС.

Диагонали и средняя линия трапеции

 Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 7. Задание 25.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Решение. Построим трапецию АВСD с основаниями ВС и АD. Из условия АС=17, ВD =9. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то ВС+АD=5*2=10. Из вершины С трапеции проведем прямую, параллельную ВD, она пересечет прямую АD в точке Е. Получили параллелограмм ВСЕD, у которого ВС=DЕ, ВD=СЕ. Диагональ СD делит параллелограмм на два равных треугольника ВСD и СЕD. Значит площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ, у которого АС=17, СЕ=9, АЕ = АD+DЕ = АD+ВС=2*5 = 10.

По формуле Герона находим площадь треугольника АСЕ.

Р=(17+9+10)/2 =18. Значит площадь треугольника АСЕ равна корню квадратному из произведения 18(18-17)(18-9)(18-10) = 18*1*9*8. Значит площадь треугольника АСЕ равна 36.

Ответ 36.

Навигатор самостоятельной подготовки к ГИА

 Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) открыл на своем официальном сайте
новый раздел «Навигатор подготовки», в котором публикуются материалы для самостоятельной подготовки обучающихся к государственной итоговой аттестации.

Раздел включает: 

«Навигатор самостоятельной подготовки к ОГЭ» 
«Навигатор самостоятельной подготовки к ЕГЭ». 

В данном разделе уже опубликованы рекомендации по самостоятельной подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам. Не реже одного раза в месяц в нем будут публиковаться и другие материалы, включающие описание проверяемого содержания и умений, ссылки на соответствующие главы и параграфы учебников федерального перечня Минпросвещения России, уроки Российской электронной школы, задания открытых банков ОГЭ и ЕГЭ. Публикации будут выходить до апреля 2021 года включительно.

Навигатор подготовки можно посмотреть на сайте.

Бесплатная подготовка к экзаменам

Бесплатная подготовка к ОГЭ и ЕГЭ от MAXIMUM. Онлайн уроки 2 раза в неделю.

• Занимайся в онлайн-группах по математике и русскому языку
• Тренируйся каждый день в приложении
• Решай варианты на тренажёре Решутест

 Жми сюда

Расписание занятий

ЕГЭ Математика Вторник 16:00-17:15  Пятница 16:00-17:15

Русский язык  Воскресенье 11:30-12:45  Четверг 17:30-18:45

ОГЭ Математика  Вторник 17:30-18:45 Четверг 17:30-18:45

Русский язык Воскресенье 10:00-11:15  Среда 17:30-18:45

Оценивание заданий 21 ОГЭ

Из методических рекомендаций по оцениванию выполнения заданий ОГЭ с развернутым ответом в 2018 году.

Примеры оценивания ответов с комментариями.

Критерии оценки выполнения задания 21.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

 Небольшое уточнение с «ошибка или описка» до «ошибки или описки» подчеркивает тот факт, что 1 балл допускается ставить в тех случаях, когда единственная вычислительная ошибка (описка) стала причиной того, что неверен ответ.

К вычислительным ошибкам не относятся ошибки в формулах при решении квадратного уравнения, действиях с числами с разными знаками, упрощении выражений со степенями и корнями и т.д.

К зачету №5 задание 23

Рассмотрим решение задания 23 одного из вариантов КИМов ОГЭ.

Графиком функции является стандартная парабола, ветви направлены вниз. Вершина в точке (0;-1). На параболе вырезана точка с абсциссой 2.

Пря­мая y=kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку, если она касается параболы или проходит через вырезанную точку (2;-5).

Минимальные баллы 2018

Из письма Рособрнадзора от 03.04.2018 № 10-220

Рекомендации
по определению минимального количества баллов ОГЭ в 2018 году

Учебный предмет	Первичные баллы, соответствующие минимальному баллу «3»	Дополнительные условия получения минимального балла
Математика	8	не менее 2 баллов из 8 получено за выполнение заданий модуля «Геометрия»
Физика	10
Информатика и ИКТ	5

Рекомендации по переводу суммы первичных баллов за экзаменационные работы основного государственного экзамена (ОГЭ) в пятибалльную систему оценивания в 2018 году

2. МАТЕМАТИКА

Максимальное количество баллов, которое может получить участник ОГЭ за выполнение всей экзаменационной работы, - 32 балла. Из них - за выполнение заданий модуля «Алгебра» - 20 баллов, модуля «Геометрия» - 12 баллов.

Критерии оценки выполнения задания 22

Методические материалы для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ОГЭ 2018 года

§2. Общие подходы к проверке и оценке выполнения заданий

с развернутым ответом

Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.

Поможем друг другу

Полным ходом идет регистрация участников областного телекоммуникационного проекта «Научим себя и других решать нестандартные задачи по математике или Многолика и многогранна 3»! Мы рады приветствовать участников из различных районов нашей области на очередном марафоне по просторам Математики, очень приятно видеть уже знакомых по предыдущим марафонам руководителей команд! Всем удачного старта и победного финиша. А работы предстоит много, как всегда.
 По положению наш телекоммуникационный проект для 8 и 10 классов. Но если есть желание и время, то принять в нем участие могут и выпускники 9 и 11 классов, ведь одна из задач марафона - подготовка к государственной итоговой аттестации. И мы поможем в этом друг другу.

Парабола проходит через точки

На муниципальном мониторинге по математике в 9 классе, который проходил в формате ОГЭ, 
в одном из вариантов под номером 23 была предложена следующая задача, с которой справилось мало учащихся.
Задача.Парабола проходит через точки K(0; 2), L(–5; –3), M(1; 9). Найдите координаты её вершины.
Решение. Общий вид уравнения параболы у=ах²+bх+с. Последовательно подставляем в это уравнение координаты точек.
При подстановке координат точки  K(0; 2) получаем:
2=а*0²+b*0+с или с=2.
При подстановке координат точки  L(–5; –3) получаем:
-3=а*(-5)²+b*(-5)+2 или 25а-5b=-5, 5a-b=-1, b=5a+1.

Сколько спиц в колесе?

 В контрольно-измерительных материалах для подготовки к ОГЭ часто встречаются в модуле

"Геометрия" простые задачи об углах между соседними спицами в колесах. При их решении важно помнить, что все углы между спицами равны, количество углов равно количеству спиц и в полной окружности 360 градусов.
Задача 1. Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Три общих точки

 Подробно разберем решение задачи 23 из 21 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

Рис 1. 2 параболы

Задача. Постройте график функции у=x²–|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Рассмотрим два случая.
Первый, когда выражение под знаком модуля не отрицательно, 
4x+3≥0, то есть 4x ≥-3 и x ≥-3/4. Тогда |4x+3|=4x+3 и функция принимает вид
 у = x²–|4x+3| = x²–4x-3. График функции - парабола.
Второй случай, когда выражение под знаком модуля отрицательно, 
4x+3<0, то есть 4x < -3 и x < -3/4.

Модуль "Геометрия" из 21 варианта

Вариант 21. 1 часть. Модуль "Геометрия"
15. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
Решение. Минутная стрелка за один час, то есть за 60 минут делает полный оборот по циферблату, описывая угол в 360 градусов.  Тогда за одну минуту стрелкой описывается угол 360:60=6 градусов. За 25 минут минутная стрелка описывает угол 6*25=150 градусов.
Ответ 150.

Задача 26 из 26 варианта

Рассмотрим решение задачи 26 из 26 варианта из сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

(подсказка для подготовки к зачету: решение задачи, подобной задаче 26 из 20 варианта рассмотрено в сообщении "Найдите основания трапеции", решение задачи, подобной задаче 26 из 21 варианта рассмотрено в сообщении "Когда биссектриса и медиана перпендикулярны")

В решении используются свойства вписанных углов, радиуса окружности, проведенного перпендикулярно хорде, свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BР, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке Р. Найдите CР.

Решение. Продолжим прямую ВР до пересечения с окружностью в точке К. Соединим точки А и К. Точку пересечения ВК и АО обозначим буквой Н.

Найдите заданный член геометрической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной геометрической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность b₁, b₂,b₃, …, b_n, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b_n+1 = b_n* q, где q – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство геометрической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то есть

(b_n)²= b_n-1 * b_n+1 .

 Формула n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁*q^n-1.

Задача 1. Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 125; − 100; 80; … Найдите её пятый член.

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства

биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.

Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.

Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

Найти сумму арифметической прогрессии

Продолжим решать задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ на прогрессии. Рассмотрим те, в которых необходимо найти сумму первых нескольких членов заданной арифметической прогрессии.

Напомним формулы.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n = (а₁ + а_n)n /2.

S_n =(2а₁ +( n −1)d)n/2.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 6; 10; 14; … Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение. Из условия имеем а₁=6. Разность арифметической прогрессии d = а₂ − а₁ = 10−6 = 4. По второй формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии находим сумму первых пяти (n=5):

S₅ =(2*6 +(5 −1)*4)*5/2=70.

Ответ: 70.

Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6 и a₁ =6,2. Найдите сумму первых шести её членов.

Все на старт

Рассмотрим серию задач на движение из открытого банка ФИПИ по математике. Задача, решение которой рассматривается подробно, предлагалась на государственных экзаменах в 2017 году. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Задача 1. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Решение. 1 способ (приведен в критериях оценивания задания).

Пусть скорость первого бегуна равна v км/ч, тогда скорость второго v+11 км/ч, а длина круга равна 40(v+11)/60 км.

Получаем уравнение:

40(v+11)/60 – 4 = v;

2(v+11) – 12 = 3v, откуда v=10.

Ответ: 10 км/ч.

Биссектриса делит высоту треугольника

Рассмотрим серию геометрических задач повышенного уровня сложности, предлагаемых в КИМах для подготовки к ОГЭ по математике в 9 классе под номером 26. В решении этих задач используются свойства биссектрисы треугольника и теорема синусов.

Задача 1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.

Решение. 1 способ. Пусть высота треугольника ВН пересекается с биссектрисой угла A в точке О. Тогда ВО:ОН=25:24.

Рассмотрим треугольник АВН, по свойству биссектрисы ВА:АН=ВО:ОН=25:24. Отсюда, по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике cosА=АН:АВ=24:25=0,96. Из основного тригонометрического тождества находим

sin²А=1 – cos²А= 1 – 0,96²= 0,0784.

sinА=0,28.

Найдите число в арифметической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство а_n = а_n + d, где d – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2.

 Формула n-го члена арифметической прогрессии

а_n = а₁ +( n −1)d.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.