Тригонометрические выражения, знаки

Обсудим решение заданий теста по тригонометрии в 10 классе. Для решения первого задания надо применять свойства четности и нечетности тригонометрических функций: sin(-𝜶)= - sin(𝜶), cos(-𝜶)=cos(𝜶), tg(-𝛂) = - tg(𝛂).
Далее необходимо помнить, что функции синус, косинус, тангенс, котангенс - периодические. Наименьший период у синуса и косинуса 2𝝅, то есть cos(20𝝅)=cos(0)=1 (убрали 10 раз по 2𝝅). А sin(15𝝅)=sin(𝝅)=0 (убрали 7 раз по 2𝝅). Наименьший период у тангенса равен 𝝅.
Кроме этого надо применять табличные значения тригонометрических функций:

Найдите заданный член геометрической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной геометрической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность b₁, b₂,b₃, …, b_n, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b_n+1 = b_n* q, где q – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство геометрической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то есть

(b_n)²= b_n-1 * b_n+1 .

 Формула n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁*q^n-1.

Задача 1. Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 125; − 100; 80; … Найдите её пятый член.

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства

биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.

Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.

Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

Найдите число в арифметической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство а_n = а_n + d, где d – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2.

 Формула n-го члена арифметической прогрессии

а_n = а₁ +( n −1)d.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

Найти объем пирамиды

Приведем решение задачи по стереометрии из открытого банка заданий ФИПИ по математике ( в КИМах они идут под номером 14), за решение таких задач можно получить 2 первичных балла. Перед началом решения вспомним свойства перпендикулярных плоскостей.
Теорема. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Теорема. Если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Решение. а) Плоскости PAB и PCD имеют две общих точки Р и К, значит они пресекаются по прямой РК. Но, если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Значит РК перпендикулярна плоскости АВС, прямым АВ и CD лежащим в плоскости АВС. Но тогда АКD – линейный угол двугранного угла АРКD. В треугольнике АКD по условию сумма углов BAD и ADC равна 90 градусам, значит третий угол АКD равен 90 градусам. Значит двугранный угол АРКD – прямой. Что и требовалось доказать.

Свойства арифметического корня n степени

Презентация Будущее начинается здесь
Форма для ответов

Найдите число

За­да­ние под номером 19 ЕГЭ базового уровня.

Задача 1. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными циф­ра­ми.

Решение. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, следует, что это число нечётное. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3, следует, что это число оканчивается тройкой. Последнюю цифру нашли. Из условия, что искомое число при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, следует, что это сумма цифр, из которых состоит число должна равнять 5, 8 или 11. Так как цифры должны быть разными, то их сумма не может быть равна 5. Наименьшее двузначное число с суммой цифр 8, это 17. Значит искомое число 173.

Ответ 173.

Задача 2. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.