Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

Три общих точки

 Подробно разберем решение задачи 23 из 21 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

Рис 1. 2 параболы

Задача. Постройте график функции у=x²–|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Рассмотрим два случая.
Первый, когда выражение под знаком модуля не отрицательно, 
4x+3≥0, то есть 4x ≥-3 и x ≥-3/4. Тогда |4x+3|=4x+3 и функция принимает вид
 у = x²–|4x+3| = x²–4x-3. График функции - парабола.
Второй случай, когда выражение под знаком модуля отрицательно, 
4x+3<0, то есть 4x < -3 и x < -3/4.

Прямая, параллельная основаниям трапеции

Рассмотрим решение геометрической задачи №24 из пробного экзамена в формате ОГЭ,

проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года. Разберем два способа решения этой задачи.

Задача 1. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и К соответственно. Найдите длину отрезка EК, если AD=36, BC=18, CК:DК=7:2.

Решение. Пусть СК=5х, тогда КD=2х, СD=9х.

1 способ. Проведем диагональ АС, она разбивает трапецию на два треугольника. Рассмотрим треугольники АСD и ОСК. Так как прямые АD и ЕК параллельны по условию, то соответственные углы САD и СОК равны. Угол АСD у этих треугольников общий. Значит треугольники АСD и ОСК подобны по первому признаку и соответствующие стороны у них пропорциональны.

АС:ОС= АD:ОК=СD:СК=9х:7х=9:7. Отсюда АD:ОК= 9:7 или 36:ОК= 9:7. Из пропорции находим ОК= 36:9*7=28.

Модуль квадратичной функции

Еще одна серия задач на построение графиков функций, но теперь это квадратичные функции под знаком модуля. Также повышенной трудности из открытого банка заданий ФИПИ по математике. Эти задачи предлагаются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ под тем же номером 23 (модуль "Алгебра").

 Задача 1. Постройте график функции y=∣x² +5x+4∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение. Область определения данной функции R.

График функции y=∣x² +5x+4∣ получается из графика квадратичной функции y=x² +5x+4 симметричным отображением относительно оси Ох той части графика, где у меньше нуля. Найдем координаты вершины параболы y=x² +5x+4 по формуле х₀= -b/(2a) =-5/2=-2,5. Тогда у0 = (-2,5)²+5*(-2,5)+ 4= - 2,25. Модуль эту точку отобразит в точку (2,5; 2,25).

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, решив уравнение x² +5x+4 = 0. Его корни х₁ = -1 и х₂ = -4. В этих точках график функции y=∣x² +5x+4∣ будет касаться оси Ох.

В каком отношении прямая делит сторону

Тренировочная работа №1 задание 16.

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/6.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Решение. а) Пусть ∠ABL = ∠СBL =a. Тогда ∠AСB = ∠ABС = 2a (треугольник ABC равнобедренный с основанием BC),  ∠LDB = ∠LBС = a (треугольник LDB равнобедренный с основанием BD). В треугольнике DСL, внешний угол угол BСL равен 2a, а так как один из внутренних несмежных с ним ∠LDB = a, то и второй ∠DLС =a, и треугольник является равнобедренным.

б) В треугольнике ABC проведём высоту АН. В прямоугольном треугольнике ABН cos∠ABC = ‍1/6, значит ВН:АВ = 1/6, то есть АВ = АС = 6ВН. ВС =2ВН. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон: АL: LС = АВ:ВС = 6ВН:2ВН =3:1.

Значит LС = АС/4 = 0,25 АС.

Далее можно пойти несколькими путями.

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим серию задач на нахождение угла между прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде. Для решения этих задач необходимо внимательно разобраться с условием, аккуратно сделать чертёж, соответствующий условию. Вспомнить определение угла между прямой и плоскостью, теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​₁B₁C₁D₁​  AB=2, AD=AA​₁=1. Найдите угол между прямой A​₁B₁ и плоскостью AB​₁D₁.