До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

Все на старт

Рассмотрим серию задач на движение из открытого банка ФИПИ по математике. Задача, решение которой рассматривается подробно, предлагалась на государственных экзаменах в 2017 году. Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Задача 1. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Решение. 1 способ (приведен в критериях оценивания задания).

Пусть скорость первого бегуна равна v км/ч, тогда скорость второго v+11 км/ч, а длина круга равна 40(v+11)/60 км.

Получаем уравнение:

40(v+11)/60 – 4 = v;

2(v+11) – 12 = 3v, откуда v=10.

Ответ: 10 км/ч.

Расстояние от Солнца до Юпитера

Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике 9 класса, в которых надо уметь выполнять действия с большими числами, уметь эти числа округлять. И уметь внимательно читать задание и правильно записывать ответ.

Задача 1. Расстояние от Солнца до Юпитера равно 779 000 000 км. Сколько времени идёт свет от Солнца до Юпитера? Скорость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в минутах и округлите до десятых.

Решение. Для того чтобы найти время, которое идёт свет от Солнца до Юпитера надо расстояние разделить на скорость.

779 000 000 км: 300 000 км/с=2597 с. Осталось время перевести в минуты и округлить до десятых.

2597 с:60=43,3 мин.

Ответ 43,3

Объекты Солнечной системы на ОГЭ

Задача 1. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?

Планета	Марс	Меркурий	Нептун	Сатурн
Расстояние (в км)	2,28⋅108	5,79⋅107	4,497⋅109	1,427⋅109

1	2	3	4
Марс	Меркурий	Нептун	Сатурн

Решение. Ближе всех к Солнцу Меркурий, он находится на расстоянии 5,79⋅10⁷ км = 57 900 000 км.

Ответ 2.

В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

В правильной четырёхугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости АВВ₁ точки В и Е принадлежат и плоскости BED​₁. Значит плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит, плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по прямой ED​₁.

Так как плоскости ADD₁ и ВСС₁ параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС₁ прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Найдите скорость велосипедиста

 А в этих задачах велосипедист катается один. Второй, видимо, отдыхает. Только нам уже отдыхать некогда. Экзамены на носу.

Задание №39177  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 204 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х – скорость велосипедиста из А в В,

тогда х+5 скорость велосипедиста на обратном пути,

204/х время затраченное велосипедистом на путь из А в В,

204/(х+5) время велосипедиста на обратном пути (без учёта остановки). Получаем уравнение

204/х =5+204/(х+5), умножив обе части уравнения на общий знаменатель х(х+5), получим

204(х+5) = 5х(х+5)+204х,

Лампочка и собирающая линза

В публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь анализировать дробные выражения, производить действия с дробями, находить корни дробных уравнений.

Задание №41847  Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=60 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 100 до 120 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 120 до 140 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение (1). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.