До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Диагонали и средняя линия трапеции

 Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 7. Задание 25.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Решение. Построим трапецию АВСD с основаниями ВС и АD. Из условия АС=17, ВD =9. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то ВС+АD=5*2=10. Из вершины С трапеции проведем прямую, параллельную ВD, она пересечет прямую АD в точке Е. Получили параллелограмм ВСЕD, у которого ВС=DЕ, ВD=СЕ. Диагональ СD делит параллелограмм на два равных треугольника ВСD и СЕD. Значит площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ, у которого АС=17, СЕ=9, АЕ = АD+DЕ = АD+ВС=2*5 = 10.

По формуле Герона находим площадь треугольника АСЕ.

Р=(17+9+10)/2 =18. Значит площадь треугольника АСЕ равна корню квадратному из произведения 18(18-17)(18-9)(18-10) = 18*1*9*8. Значит площадь треугольника АСЕ равна 36.

Ответ 36.

Трапеция, вписанная в окружность

 Рассмотрим задачу из учебника геометрии 8 класса, решение которой пригодится сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Решение. При построении чертежа к задаче необходимо учесть, что если диагональ вписанной трапеции перпендикулярна боковой стороне, то большее основание является диаметром описанной окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр).

Итак, в равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ = 12 см, диаметр AD = 20 см. Треугольник ABD – прямоугольный, из вершины прямого угла проведем высоту ВН. Так как квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Таким образом АН = АВ*АВ/АD = 12*12/20 = 7,2 см. Тогда средняя линия трапеции MN = НD = 20 – 7,2 = 12,8 см.

Подобные задачи:

Удачное дополнительное построение

Рассмотрим серию геометрических задач из открытого банка ОГЭ ФИПИ. В решении используются свойства средней линии трапеции, свойства параллелограмма, равновеликие треугольники и равновеликие треугольник и трапеция. Но главное, что облегчает решение -
дополнительное построение.

Задача. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.

Решение. Построим заданную трапецию, в ней средняя линия МР=10, диагонали BD=15 и АС=7. По свойству средней линии трапеции можно найти сумму оснований ВС+АD=2МР = 20.

На первый взгляд все сложно.

Трапеция становится равнобедренной

Задача.
Дана трапеция, у которой длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение задачи:
1 случай. Пусть угол АОD равен 60 градусам. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. На прямой

AD за точкой D отложим отрезок DM = BC. Тогда AМ = a + b. Четырехугольник ВСМD – параллелограмм, так как отрезки ВС и МD равны и параллельны. Следовательно угол АСМ равен углу АОD и равен 60 градусам. В треугольнике АСМ имеем АС=АМ и угол АСМ равен 60 градусам, значит этот треугольник равносторонний. Углы САМ и СМА также равны 60 градусам. Но угол ВDМ равен углу СМА как односторонние при параллельных ВD и СМ и секущей АМ. Значит треугольник АОD равносторонний, треугольник ВОС тоже равносторонний.

Отсюда следует, что диагонали трапеции равны, значит трапеция – равнобедренная.

Докажите, что данный параллелограмм...

Решим два вида заданий из раздела "геометрия" экзамена по математике в 9 классе.

Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим серию простых стереометрических задач, предлагаемых открытым банком ФИПИ, для подготовки к ЕГЭ. Эти задачи доступны для решения учащимся 10 классов, после прохождения темы прямоугольный параллелепипед.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁=2, C₁D₁=6, B₁C₁=3. Найдите длину диагонали AC₁.

Решение. По свойству прямоугольного параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). В нашем случае AC₁²= АD²+ DС²+ D₁D² = 3²+6²+2² = 9+36+4=49. AC₁ = 7.

Ответ 7.

Вспомним, что в любом прямоугольном параллелепипеде можно только провести четыре диагонали, все они равны (в нашем случае AC₁= ВD₁= DВ₁= СА₁). И все диагонали пересекаются в одной точке.

Задания для самостоятельной работы.