Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.

Решение.

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства

биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.

Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.

Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).

Докажите, что данный параллелограмм...

Решим два вида заданий из раздела "геометрия" экзамена по математике в 9 классе.

Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.

Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

Квадраты на сторонах треугольника

Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:

Здесь а, b, с – стороны треугольника,  m_a – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150⁰.

 

Решение: а) Приведём два способа доказательства.

Квадраты на катетах прямоугольного треугольника

В решении следующей задачи используются метод площадей (площадь треугольника можно

находить разными способами) и свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (она равна половине гипотенузы, а середина гипотенузы является центром описанной окружности).

Тренировочная работа №6 задание 16.

Задача 1. На катетах AС и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение:

Квадраты на катетах треугольника

Тренировочная работа №13. Задание 16.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM перпендикулярна DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.

Решение.

а) Треугольники АВС и DСK равны, так как ÐDСK = ÐАСВ = 90°, DС=АС – стороны одного квадрата, КС=ВС – стороны другого квадрата.

Равнобедренный треугольник, медиана

Планиметрия на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задачи из Открытого банка заданий по математике ФИПИ.

Задача. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

Решение. Так как медиана треугольника, это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, то АМ = МС = 24:2 = 12.

По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат катета ВМ мы должны из квадрата гипотенузы АВ вычесть квадрат катета АМ. ВМ² = АВ² – АМ² = 225 – 144 = 81. Значит ВМ = 9.

Ответ 9.

Задача. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна восьми корням из пяти. Найдите длину стороны АВ.