Найти сумму арифметической прогрессии

Продолжим решать задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ на прогрессии. Рассмотрим те, в которых необходимо найти сумму первых нескольких членов заданной арифметической прогрессии.

Напомним формулы.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n = (а₁ + а_n)n /2.

S_n =(2а₁ +( n −1)d)n/2.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 6; 10; 14; … Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение. Из условия имеем а₁=6. Разность арифметической прогрессии d = а₂ − а₁ = 10−6 = 4. По второй формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии находим сумму первых пяти (n=5):

S₅ =(2*6 +(5 −1)*4)*5/2=70.

Ответ: 70.

Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6 и a₁ =6,2. Найдите сумму первых шести её членов.

Найдите число в арифметической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство а_n = а_n + d, где d – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2.

 Формула n-го члена арифметической прогрессии

а_n = а₁ +( n −1)d.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

Сколько сделать фотографий?

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), такие задачи в КИМах стоят под номером 19. За правильное решение таких задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача 1. Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа – n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Решение.

а) за семь дней сделают

Маша m+ m+1+ m+2+ m+3+ m+4+ m+5+ m+6=7 m+21,

Наташа n+ n+1+ n+2+ n+3+ n+4+ n+5+ n+6=7 n+21.

Но Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша. То есть

7 n+21-(7 m+21)=1001. Отсюда  7 n-7 m=1001 и, после деления на 7 получаем  

 n- m=143. n= m+143.

Из полученного равенства видно, что решений в этом случае бесконечно много, например n=1, m=144 или  n=2,  m=145.

Хозяин договорился

Задание 20. (ЕГЭ по математике, базовый уровень).  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?

Решение.

Из условия понятно, что по­сле­до­ва­тель­ность цен за каждый выкопанный метр является ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сией с пер­вым чле­ном а₁= 3700 и  раз­но­стью  d=1700. Сумма пер­вых  n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле S_n = 0,5(2a₁ + (n – 1)d)n. Подставляя исходные данные, получаем:

S₁₀ = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200.

 Таким образом,  хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить ра­бо­чим 77200 руб.

 Ответ: 77200. 

Задачи для самостоятельного решения.