Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018

Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.

Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.

Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Найти сумму арифметической прогрессии

Продолжим решать задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ на прогрессии. Рассмотрим те, в которых необходимо найти сумму первых нескольких членов заданной арифметической прогрессии.

Напомним формулы.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

S_n = (а₁ + а_n)n /2.

S_n =(2а₁ +( n −1)d)n/2.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 6; 10; 14; … Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение. Из условия имеем а₁=6. Разность арифметической прогрессии d = а₂ − а₁ = 10−6 = 4. По второй формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии находим сумму первых пяти (n=5):

S₅ =(2*6 +(5 −1)*4)*5/2=70.

Ответ: 70.

Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6 и a₁ =6,2. Найдите сумму первых шести её членов.

На доске натуральные числа

Рассмотрим очередную задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), задача о натуральных числах и довольно простая. Такие задачи в контрольно-измерительных материалах стоят под номером 19. За правильное решение подобных задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Решение. Произведение любых двух чисел из некоторого набора натуральных чисел больше 25, если в этом наборе произведение двух самых маленьких чисел больше 25. Произведение любых двух чисел из того же набора меньше 85, если в этом наборе произведение двух самых больших чисел меньше 85.

а) Такой набор из 5 чисел легко подобрать 5,6,7,8,9.

И опять пишут числа на доске

 Задания под номером 19 в ЕГЭ 2016 года связаны со свойствами чисел. Сложные, но решать их вполне можно. Попробуйте. За полное решение можно заработать 4 первичных балла.

Задание 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили числом 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.