Найдите площадь параллелограмма

 

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 6. Задание 25.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

 Решение.

Построим параллелограмм АВСD и окружность, вписанную в треугольник АВС с центром О. По условию АО=25, ОН=17, ОК=7. Вспомним, что центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения его биссектрис, поэтому   АО, ВО и ОС – биссектрисы углов ВАС, АВС и ВСА. Радиусы ОК, ОЕ и ОР соответственно перпендикулярны касательным АС, АВ и ВС.

Через точку пересечения диагоналей

Рассмотрим решение геометрической задачи №25 из пробного экзамена в формате ОГЭ, проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года. Задача на доказательство.

В доказательстве используется свойство диагоналей параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. А также свойства углов образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Задача. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках Р и Т соответственно. Докажите, что отрезки AР и CТ равны.

Параллелограмм на клетчатой бумаге

И на ОГЭ в 9 классе, и на ЕГЭ в 11 классе достаточно много заданий на клетчатой бумаге. В этом сообщении мы рассмотрим несколько задач, составленных по одному чертежу.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Задача 1. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задача 2. Найдите периметр этого параллелограмма.
Задача 3. Вычислите котангенс острого угла параллелограмма.
Задача 4. Вычислите синус острого угла параллелограмма.
Задача 5. Вычислите косинус острого угла параллелограмма.
Задача 6. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.

Докажите, что данный параллелограмм...

Решим два вида заданий из раздела "геометрия" экзамена по математике в 9 классе.

Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.

Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.

Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

Равнобедренная трапеция и окружность

Разберём решение серии планиметрических задач из открытого банка ФИПИ по математике (профильный уровень). Эти задачи соответствуют уровню заданий под номером 16 профильного ЕГЭ. Для их решения необходимо хорошо знать геометрию на уровне 9 класса. В частности, свойства касательных и свойства радиуса, проведённого в точку касания, теорему Пифагора и теорему косинусов, свойство средней линии треугольника свойства параллелограмма, и другие.

Задание 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2.

Решение. а) Отрезок QO является средней линией трапеции ABCD, а значит,