Трапеция, вписанная в окружность

 Рассмотрим задачу из учебника геометрии 8 класса, решение которой пригодится сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Решение. При построении чертежа к задаче необходимо учесть, что если диагональ вписанной трапеции перпендикулярна боковой стороне, то большее основание является диаметром описанной окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр).

Итак, в равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ = 12 см, диаметр AD = 20 см. Треугольник ABD – прямоугольный, из вершины прямого угла проведем высоту ВН. Так как квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Таким образом АН = АВ*АВ/АD = 12*12/20 = 7,2 см. Тогда средняя линия трапеции MN = НD = 20 – 7,2 = 12,8 см.

Подобные задачи:

Отрезок, длина которого не изменяется

Рассмотрим еще одну задачу с двумя окружностями в треугольнике. Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 35 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая АD в точке К.

а) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10.

 Решение. Решение задачи не сложное, основано на свойстве касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).

Выразим АК двумя способами.

АК = АТ – КТ,

АК = АF – КF. По свойству касательных КТ = КМ, КF = КN и АТ = АЕ, АF = АР.

Так длины отрезков двух общих внешних касательных к двум окружностям, заключенных между точками касания равны, то MN = HZ. Тогда

2*АК = АТ – КТ + АF – КF = АТ + АF – (КТ + КF) = АЕ + АР – MN = АС – ЕС + АВ – ВР – MN = АС + АВ – (ЕС + ВР + MN) = АС + АВ – (СН + ВZ + HZ) = АС + АВ – ВС. То есть АК = (АС + АВ – ВС)/2 и не зависит от положения точки D.

Работают формулы площади треугольника

Время карантина можно использовать для активной подготовки к ГИА. Для этого из дома выходить не надо. Берем сборники и решаем. В сети обсуждаем пути решения заданий, возникающие проблемы.

Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 34 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. Биссектриса большего угла треугольника со сторонами 21, 24 и 39 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 35:36.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной исходного треугольника.

Решение. Изначально найдем длины отрезков АD и CD, на которые разбивает большую сторону АС биссектриса ВD.

(Используем свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон)

АD:CD = АВ:ВС = 21х:24х, отсюда 45х = 39, х = 13/15. Получаем

АD = 21*13/15 = 18,2 и CD = 24*13/15 = 20,8.

Опять помогает окружность

Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.

Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =

2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Докажите, что AD = DC.

Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

Трапеция с тремя равными отрезками

Ну вот и пришло время начинать очередную подготовку к ЕГЭ по математике. С

десятиклассниками решаем на дополнительных занятиях 16 задания по планиметрии из сборника под редакцией И.В. Ященко.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADС .

б) Найдите АВ, если известны длины диагонали трапеции: BD = 8 и AC = 5.

Решение.

а) Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то ВС=АС. Так как треугольник АСD равнобедренный с основанием АD, то АС= СD. Получаем ВС=АС=АD, следовательно, треугольник ВСD равнобедренный и угол СВD равен углу СDВ. Но углы СВD и ВDА – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей ВD, следовательно они равны. Значит  угол СDВ равен углу ВDА и  AC — биссектриса угла BAD.

Сколько спиц в колесе?

 В контрольно-измерительных материалах для подготовки к ОГЭ часто встречаются в модуле

"Геометрия" простые задачи об углах между соседними спицами в колесах. При их решении важно помнить, что все углы между спицами равны, количество углов равно количеству спиц и в полной окружности 360 градусов.
Задача 1. Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Четырёхугольник вписан в окружность

Рассмотрим решение задачи повышенной сложности под номером 26 из 22 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».
 В решении используются свойства вписанного
четырёхугольника, теоремы синусов и косинусов, свойства параллельных прямых.

Задача. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке Р, причём ∠AРB=60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение. Проведем прямую АК параллельно диагонали BD до пересечения с окружностью в точке К. Тогда АBDК - вписанная трапеция, значит она равнобедренная и DК=АВ=5. По свойству параллельных прямых накрестлежащие углы ВРА и РАК равны, значит угол РАК тоже равен 60 градусам.

Модуль "Геометрия" из 21 варианта

Вариант 21. 1 часть. Модуль "Геометрия"
15. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
Решение. Минутная стрелка за один час, то есть за 60 минут делает полный оборот по циферблату, описывая угол в 360 градусов.  Тогда за одну минуту стрелкой описывается угол 360:60=6 градусов. За 25 минут минутная стрелка описывает угол 6*25=150 градусов.
Ответ 150.

Задача 26 из 26 варианта

Рассмотрим решение задачи 26 из 26 варианта из сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

(подсказка для подготовки к зачету: решение задачи, подобной задаче 26 из 20 варианта рассмотрено в сообщении "Найдите основания трапеции", решение задачи, подобной задаче 26 из 21 варианта рассмотрено в сообщении "Когда биссектриса и медиана перпендикулярны")

В решении используются свойства вписанных углов, радиуса окружности, проведенного перпендикулярно хорде, свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BР, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке Р. Найдите CР.

Решение. Продолжим прямую ВР до пересечения с окружностью в точке К. Соединим точки А и К. Точку пересечения ВК и АО обозначим буквой Н.

Трапеция в треугольнике

Рассмотрим ещё одну интересную задачу, предлагавшуюся на ЕГЭ под номером 16, то есть за ее правильное решение дается 3 первичных балла. В этой задаче полуокружность, вписанная в прямоугольный треугольник является причиной возникновения трапеции, площадь которой и необходимо найти.

Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка Р. Окружность с центром О и диаметром СР касается гипотенузы в точке К.

а) Докажите, что прямые РК и ОВ параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника ВОРК, если СК=4 и АР:РС=1:3.

Решение. а) Поскольку прямая ВС проходит через точку С окружности и перпендикулярна радиусу ОС, то ВС- касательная к данной окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая ВО перпендикулярна прямой СК. Так как ОК – радиус, проведенный в точку касания, то ОК перпендикулярен АВ. Угол РКС – вписанный и опирается на диаметр РС, значит угол РКС – прямой. Так как прямая ВО перпендикулярна СК и прямая РК перпендикулярна прямой СК, то они параллельны.

Трапеция и прямоугольный треугольник

Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90^⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.

Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90^⁰, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

В прямоугольной трапеции

В этом сообщении рассмотрим решение более сложной геометрической задачи №26 из пробного экзамена в формате ОГЭ, проводившегося в 9 классе в декабре 2017 года.

Задача. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=20, BC=15.

Решение. Из точки Е проведем отрезок ЕН перпендикулярно CD. Длину отрезка ЕН и надо найти. Продолжим боковые стороны АВ и CD трапеции до пересечения в точке Р.

Рассмотрим треугольники ВРС и АРD. Они прямоугольные (по условию AB перпендикулярна основанию BC, а значит и АD) , имеют общий угол Р. Значит треугольники ВРСН и АРD подобны по первому признаку. Из пропорциональности сторон получаем

Две окружности и две касательных

Рассмотрим решение задачи повышенной трудности из сборника контрольно-измерительных материалов «Математика. ОГЭ. 2018» под редакцией И.В. Ященко.

Задача. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение. Продолжим касательные АС и BD до пересечения в точке Е. Вспомним свойство касательных.

Если из точки вне окружности провести две касательные к этой окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

Доказано тремя способами

Рассмотрим три способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.

Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна прямой КР.

Доказательство.

1 способ. (Используем свойства равнобедренного треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.

Треугольник РВС – тоже равнобедренный, так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН – медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и требовалось доказать.

Задача для исследования

Рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из школьных олимпиад по математике.

Задача 1.
Через точку О, которая является центром окружности, проведена прямая, пересекающая окружность в точке А.  Радиус ОВ проведен так, что угол АОВ=60°. На прямой ОВ выбрана точка С так, что СК = ОВ, здесь К точка пересечения прямой ВС с данной окружностью. Найдите величину угла КСО.

Решение. Проведём радиус ОК, тогда треугольники ОКВ и ОКС – равнобедренные, ОК = ОВ как радиусы окружности, а ОВ =СК по условию задачи. Из свойства равнобедренного треугольника следует равенство углов ОВК = ОКВ и КОС = КСО. Заметим, что угол ОКВ является внешним углом треугольника ОКС и  равен сумме углов ОСК и СОК. Но углы ОСК и СОК равны, значит угол ОКВ равен двум углам ОСК. Если величину угла ОСК обозначим через х, величина углов ОКВ и ОВК равна 2х.  

Окружность и подобные треугольники

Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.

Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или

АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.

Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.

Две окружности в прямоугольной трапеции

 Рассмотрим решение ещё одной планиметрической задачи, связанной с окружностями, вписанными в прямоугольную трапецию.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что AМ:МD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 2,5 и 0,5.

Решение. а) Продолжим боковые стороны АВ и СD до пересечения в точке К. Треугольник АКD – прямоугольный. Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. Значит точки О, О₁, К и М лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла АКD. По свойству биссектрисы треугольника AМ:МD = АК:КD = sinD

Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.

Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

Две окружности касаются друг друга

Тренировочная работа №4 задание 16.

Прежде чем перейдём к решению этой задачи, вспомним некоторые свойства окружностей. Если две окружности касаются друг друга, то центры этих окружностей и точка касания лежат на одной прямой (линии центров).

Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.