Почему не надо упрощать школьную математику

В обществе популярно представление о том, что курс математики в старших классах слишком сложен. Зачем столько «чистой» математики — алгебры и геометрии, к чему эти лабиринты формул, недоумевают родители. Нужно решать задачи, которые пригодятся в реальной жизни, полагают они.

Однако упор на «формульную» (то есть формальную) математику в школьном курсе — весьма разумное решение, доказала российско-американская команда исследователей. Сотрудники международной лаборатории анализа образовательной политики Института образования НИУ ВШЭ Андрей Захаров, Татьяна Хавенсон, научный руководитель лаборатории, заслуженный профессор Стенфордского университета Мартин Карной, ведущий научный сотрудник лаборатории, профессор Стенфордского университета Прашант Лоялка и заслуженный профессор Мичиганского университета Уильям Шмидт выяснили, что девятиклассники, которые решали больше задач по алгебре и геометрии, лучше справлялись и с другими заданиями по точным наукам. Такие ученики набрали больше баллов в математическом тесте международного мониторинга школьной грамотности PISA (Programme for International Student Assessment).

Опубликованы демоверсии КИМ ЕГЭ и ОГЭ 2017 года

Осенью 2016 года проходило широкое общественно-профессиональное обсуждение проектов

кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников, спецификаций КИМ, демонстрационных вариантов КИМ ЕГЭ и ОГЭ 2017 года по 14 учебным предметам.

Итоги обсуждения подведены. Документы, определяющие разработку контрольно-измерительных материалов ЕГЭ и ОГЭ 2017 года, утверждены и размещены на сайте ФИПИ: ЕГЭ /Демоверсии, спецификации, кодификаторы

 МАТЕМАТИКА (1.3 Mb) 

 ФИЗИКА (1 Mb) 

 ИНФОРМАТИКА и ИКТ (859.3 Kb)

 ОГЭ/Демоверсии, спецификации, кодификаторы

 МАТЕМАТИКА (1 Mb) 

 ФИЗИКА (1 Mb) 

 ИНФОРМАТИКА и ИКТ (940.1 Kb)

Поезд за окошком промелькнул

Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий по математике Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) для проведения ОГЭ на движение поездов (или, более обобщённо, на движение протяжённых тел).

Рассмотрим несколько ситуаций: определение длины поезда проезжающего мимо

• придорожного столба
• идущего параллельно путям пешехода
• другого двигающегося поезда

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 150 км/ч, проезжает мимо столба за 6 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Если поезд движется мимо столба (светофора, человека), то он проходит расстояние S равное его длине. Так как время прохождения поезда мимо столба задано в секундах, то найдем, сколько метров он проходит за каждую секунду: 150 км/ч = 150*1000/3600=1500/36=250/6 м/с.

За 6 секунд поезд прошёл 260/6*6=250 метров. Это и есть его длина.

Ответ: 250.

Средняя скорость на ОГЭ

Средняя скорость – не самое сложное понятие в математике и физике. Однако простота этого понятия довольно часто оказывается обманчивой. Необходимо постоянно помнить, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий по математике Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) для проведения ОГЭ.

Задача 1. Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время. В задаче сказано о трёх участках пути, длина каждого известна. Найдём время движения на каждом участке.

105:35=3 (часа)

120:60=2 (часа)

500:100=5 (часов)

Всё затраченное время равно 3+2+5=10 час.

Длина пройденного пути 105+120+500=725 км.

Средняя скорость равна 725:10=72,5 км/час.

Ответ: 72,5

Шедевры математической программы

 Шедевры, созданные в  GeoGebra;
 GeoGebra — это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.
Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями)
Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем). Переведена на 39 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Полностью поддерживает русский язык.
В июне 2013 года впервые в истории российских научно-методических журналов вышел специальный выпуск Европейского журнала современного образования (European Journal of Contemporary Education, ISSN 2304-9650), посвящённый использованию GeoGebra в учебном процессе (приглашённая редколлегия: доктор педагогических наук Дэниэл Джарвис, Университет Ниписсинг, Канада и кандидат физико-математических наук Рушан Зиатдинов, Университет Фатих, Стамбул, Турция). https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

linear & angular velocity

Участвуй!

Стартовал IV сезон Олимпиады Фоксфорда для учеников 5-11 классов!Участвуй, защити честь школы и выиграй Apple iPad! → http://foxford.ru/I/bg
 Подробности:
• Участие в олимпиаде бесплатное.
• Сроки проведения — с 1 сентября по 30 сентября.
• Олимпиада проводится по математике, русскому языку, информатике, физике, биологии, химии, обществознанию, английскому языку и истории для учеников 5-11 классов.
• Гарантированно ты получишь Сертификат — памятное свидетельство об участии!
• А если наберёшь максимальное количество баллов в своём классе, сможешь принять участие в розыгрыше ценных призов: брендированные толстовки, книги или Apple iPad Mini 2!
Больше информации на сайте → http://foxford.ru/I/bg!

Окружность и подобные треугольники

Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.

Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или

АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.

Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.

Две окружности в прямоугольной трапеции

 Рассмотрим решение ещё одной планиметрической задачи, связанной с окружностями, вписанными в прямоугольную трапецию.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что AМ:МD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 2,5 и 0,5.

Решение. а) Продолжим боковые стороны АВ и СD до пересечения в точке К. Треугольник АКD – прямоугольный. Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. Значит точки О, О₁, К и М лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла АКD. По свойству биссектрисы треугольника AМ:МD = АК:КD = sinD

Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.

Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.

Квадраты на сторонах треугольника

Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:

Здесь а, b, с – стороны треугольника,  m_a – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150⁰.

 

Решение: а) Приведём два способа доказательства.

Квадраты на катетах прямоугольного треугольника

В решении следующей задачи используются метод площадей (площадь треугольника можно

находить разными способами) и свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (она равна половине гипотенузы, а середина гипотенузы является центром описанной окружности).

Тренировочная работа №6 задание 16.

Задача 1. На катетах AС и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение:

Окружность вписана в параллелограмм

Прежде чем перейдём к решению следующей задачи, вспомним теорему о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Тренировочная работа №5 задание 16. 

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

Две окружности касаются друг друга

Тренировочная работа №4 задание 16.

Прежде чем перейдём к решению этой задачи, вспомним некоторые свойства окружностей. Если две окружности касаются друг друга, то центры этих окружностей и точка касания лежат на одной прямой (линии центров).

Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Бесплатные курсы повышения квалификации учителей

«Фоксфорд» второй год подряд проводит бесплатные онлайн-курсы повышения квалификации для учителей России. В прошлом году мы обучили свыше 20 000 учителей.

Этим летом мы планируем взять новую планку в 50 000 учителей. Что, вероятно, станет самыми масштабными курсами повышения квалификации учителей в истории страны. 

Занятия на курсах проводят общепризнанные эксперты, в частности 

• Андрей Сиденко, вошедший в десятку самых влиятельных педагогов мира,
• Вадим Ерёмин, руководитель команды России на международной олимпиаде по химии,
• Андрей Григорьев, председатель Центральной предметно-методической комиссии по русскому языку Всероссийской олимпиады школьников,
• Борис Трушин, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике,
• а также авторы школьных учебников, члены жюри олимпиад и эксперты ЕГЭ

Список курсов:

Под каким углом надо прыгать на платформу?

Приведём очередную серию задач из открытого банка ФИПИ с практическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ), при решении которых надо уметь производить простейшие вычисления и находить углы по найденным значениям тригонометрических функций.

Задание №28665

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v=4 м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью, заданной формулой (1), где m=75 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M=300 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,4 м/с?

Решение. Решаем неравенство 

Какой вклад выгоднее?

Продолжаем решать задачи с экономическим содержанием, которые в КИМах ЕГЭ по математике (профильный уровень) стоят под номером 19. Сегодня определяем какой из вкладов выгоднее, то есть на каком мы получим большую сумму через некоторое количество лет.

Задание 1. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение. Предположим, что мы внесли на оба вклада одинаковую сумму денег, обозначим её буквой S. Тогда на вкладе «А» через год сумма станет равной 1,1S, через два года 1,1²S, через три года 1,1³S=1,331S (в конце каждого года сумма увеличивается на 10 %, то есть в 1,1  раза).

Как установить кресла на карусели

Итак, продолжаем решать задачи с экономическим содержанием, которые в КИМах ЕГЭ

по математике (профильный уровень) стоят под номером 19. Задания вполне под силу выпускникам и на них надо зарабатывать баллы.

Приведённая задача использует законы комбинаторики и требует внимательного подсчёта количества возможных вариантов.

Здание 1. Завод выпускает кресла шести видов для детской круглой карусели. Каждая карусель рассчитана на 5 кресел, которые нужно установить. Сколькими способами это можно сделать в каждом из перечисленный случаев, если способы, получающиеся друг из друга поворотом,  считать одинаковыми?

а) Все кресла различные.

б) Представлены кресла 4 видов.

в) Каждого вида не более 2 видов.

Решение.

Каждой точке - характеристику функции и её производной

Производной на базовом ЕГЭ по математике отведено немного места, но всё же она присутствует. В данной статье рассмотрим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике (базовый уровень).

Задание 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
А	1.      значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
В	2.      значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
С	3.      значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
D	4.      значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	B	C	D

Решение. Для выполнения этого задания необходимо вспомнить свойства производной функции. Если на некотором числовом промежутке производная функции положительна, то функция на этом числовом промежутке возрастает, если же производная отрицательна, то функция убывает. 

Из пункта A в пункт D ведут три дороги

Следующие задания не сложные. Надо внимательно читать условие, не менее внимательно рассматривать чертёж и производить вычисления. И очень внимательно изучать, что необходимо записать в ответе. Обидно, когда все вычисления сделаны правильно, а в ответ записано не то число, что требуется. Балл потерян.

Задание 1. Из пункта A в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта A в пункт D выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт B со средней скоростью 32 км/ч, автобус едет через пункт C со средней скоростью 44 км/ч. По третьей дороге — без промежуточных пунктов — едет легковой автомобиль со средней скоростью 48 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам.
Какое транспортное средство доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все три ва­ри­ан­та.

Гру­зо­вик, иду­щий через пункт B, про­шел путь 35 + 53 = 88 км и по­тра­тил на до­ро­гу 88 : 32 = 2,75 часа.