Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 2 июля 2016 г.

Медианы треугольника пересекаются в точке



Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).
2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.


Тренировочная работа №15 задание 16.
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.
Решение.

а)  Так как точка A2 середина отрезка АМ, то треугольники AC1A2 и C1A2М равновеликие. Аналогично равновелики треугольники МC1В2 и ВC1В2, ВА1В2 и МА1В2, МА1С2 и СА1С2, СВ1С2 и МВ1С2, АВ1А2 и МВ1А2. Получили, что шесть треугольников входящих в шестиугольник равновелики шести треугольникам не входящим в шестиугольник. То есть площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна половине площади треугольника АВС.
б) Зная стороны треугольника, мы можем найти длины его медиан.
(АА1)2 =(2АВ2+2АС2 – ВС2)/4= (2*42+2*82 – 72)/4= 111/4 =27,75.
(ВВ1)2 =(2АВ2+2ВС2 – АС2)/4= (2*42+2*72 – 82)/4= 66/4= 16,5.
(СС1)2 =(2СВ2+2АС2 – АВ2)/4= (2*72+2*82 – 42)/4= 210/4= 52,5.
Так как A2С1 и В2С1 являются средними линиями треугольника ABM, то A2С1 = ВМ/2 = ВВ1/3 и В2С1 = АМ/2 = АА1/3.
Так как В2А1 и С2А1 являются средними линиями треугольника BСM, то В2А1 = СМ/2 = СС1/3 и С2А1 = ВМ/2 = ВВ1/3.
Так как С2В1 и А2В1 являются средними линиями треугольника AСM, то С2В1 = АМ/2 = АА1/3 и А2В1 = СМ/2 = СС1/3.
Найдём сумму квадратов всех сторон шестиугольника A1B2C1A2B1C2.
(A2С1)2+(В2С1)2+(В2А1)2+(С2А1)2+(С2В1)2+(А2В1)2 =
2* ((АА1)2+ (ВВ1)2+( СС1)2)/9 = 2*(27,75+16,5+52,5)/9 =
2*96,75/9 = 21,5.
Ответ 21,5.

Задания для самостоятельной работы.
Задание 1. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M.
Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
За­да­ние 2. Ме­ди­а­ны АА1 и ВВ1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Точки А2, В2 и С2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и МС со­от­вет­ствен­но.
а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.
б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.

Комментариев нет:

Отправить комментарий