Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 1 июля 2016 г.

Точки на сторонах треугольника



Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.
В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.
Обратная теорема Фалеса.
Если на одной стороне угла от его вершины отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA1, A1B1, B1C1, ... (OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k), то прямые AA1, BB1, CC1, - параллельны.


Тренировочная работа №10 задание 16.
Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ1: В1С = АС1: С1В. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ1ОС1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1: В1С = АС1: С1В = 1:4.


Решение:
а) Так как точки В1 и С1 делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то по теореме обратной теореме Фалеса прямая В1С1 всегда будет параллельна BC. Отсюда следует, что четырёхугольник  ВСВ1С1 – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Таким образом, прямая АО проходит через середины оснований трапеции ВСВ1С1.
б) Треугольник АВ1С1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/5, следовательно, его площадь будет составлять 1/25 площади треугольника АВС или S/25. Тогда площадь трапеции ВСВ1С1 составляет 24/25 площади треугольника АВС, то есть 24S/25.   Высота треугольника ВВ1С1, проведённая к стороне В1С1, равна высоте треугольника ВВ1С, проведённой к стороне ВС.  Поскольку В1С1в пять раз меньше ВС, то площадь треугольника ВВ1С1в пять раз меньше, чем площадь треугольника ВВ1С1. Обозначим площадь треугольника ВВ1С1х, тогда площадь треугольника ВВ1С – 5х
Значит, х + 5х = 24S/256х = 24S/25, х = 4S/25. То есть
площадь треугольника ВВ1С1 равна 4S/25,
площадь треугольника ВВ1С равна 20S/25.
Рассмотрим треугольники ВСС1 и ВСВ1. Так как у них общее основание – ВС, и одинаковая высота, то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник ОВС, поэтому площади треугольников ВВ1С1 и СВ1С1 равны, пусть они равны р.
Треугольники ОВ1С1 и ОВС подобны с коэффициентом подобия 1/5. Если обозначим площадь треугольника ОВ1С1 через а, то площадь треугольника ОВС равна 25а.
Так как площадь треугольника ВВ1С1 равна сумме площадей треугольников ВОС и В1ОС, получаем 4S/25 = а +р.
Так как площадь треугольника ВВ1С равна сумме площадей треугольников ОВ1С1 и ВОС1, получаем 20S/25 =25 а +р. Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем
16S/25 =24а.  Отсюда а = 2S/75.
Площадь четырехугольника АВ1ОС1 = S/25 +2S/75 = S/15
Ответ: 1:15.

Комментариев нет:

Отправить комментарий