Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.

Решение:

а) Так как точки В₁ и С₁ делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то по теореме обратной теореме Фалеса прямая В₁С₁ всегда будет параллельна BC. Отсюда следует, что четырёхугольник  ВСВ₁С₁ – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Таким образом, прямая АО проходит через середины оснований трапеции ВСВ₁С₁.

б) Треугольник АВ₁С₁ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/5, следовательно, его площадь будет составлять 1/25 площади треугольника АВС или S/25. Тогда площадь трапеции ВСВ₁С₁ составляет 24/25 площади треугольника АВС, то есть 24S/25.   Высота треугольника ВВ₁С₁, проведённая к стороне В₁С₁, равна высоте треугольника ВВ₁С, проведённой к стороне ВС.  Поскольку В₁С₁в пять раз меньше ВС, то площадь треугольника ВВ₁С₁в пять раз меньше, чем площадь треугольника ВВ₁С₁. Обозначим площадь треугольника ВВ₁С₁ – х, тогда площадь треугольника ВВ₁С – 5х. 

Значит, х + 5х = 24S/25,  6х = 24S/25, х = 4S/25. То есть

площадь треугольника ВВ₁С₁ равна 4S/25,

площадь треугольника ВВ₁С равна 20S/25.

Рассмотрим треугольники ВСС₁ и ВСВ₁. Так как у них общее основание – ВС, и одинаковая высота, то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник ОВС, поэтому площади треугольников ВВ₁С₁ и СВ₁С₁ равны, пусть они равны р.

Треугольники ОВ₁С₁ и ОВС подобны с коэффициентом подобия 1/5. Если обозначим площадь треугольника ОВ₁С₁ через а, то площадь треугольника ОВС равна 25а.

Так как площадь треугольника ВВ₁С₁ равна сумме площадей треугольников ВОС и В₁ОС, получаем 4S/25 = а +р.

Так как площадь треугольника ВВ₁С равна сумме площадей треугольников ОВ₁С₁ и ВОС₁, получаем 20S/25 =25 а +р. Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем

16S/25 =24а.  Отсюда а = 2S/75.

Площадь четырехугольника АВ₁ОС₁ = S/25 +2S/75 = S/15

Ответ: 1:15.