Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 25 июля 2016 г.

Окружность и подобные треугольники



Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.
а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.
б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.
Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.
АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или
АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.
Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.


Задача 2. В треугольнике АВС угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем АМ : МС = √3 : 4. Величина угла АВМ равна 60 градусов, ВМ = 8.
а) Найдите величину угла ВАС.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

Решение. а) Проведём РМ перпендикулярно АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВРМ, у него угол ВМР равен 30 градусам, значит, катет ВР равен половине гипотенузы ВМ, ВР=4. По теореме Пифагора РМ2 = ВМ2 – ВР2 = 64 -16 =48. РМ = 4√3.  Так как РМ и ВС перпендикулярны АВ, то они параллельны. По теореме Фалеса АР:РВ=АМ:МС или АР : 4= √3 : 4. Отсюда АР = √3.
Тангенс угла ВАС равен отношению противолежащего катета РМ к прилежащему АР, то есть tgВАС = 4. Угол ВАС равен arctg4.
б) Для того, чтобы найти расстояние между центрами О и О1 окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ, рассмотрим треугольники АВС и ОВО1. Угол ВСМ вписан в окружность с центром О1 и равен половине дуги ВМ, центральный угол ВО1О также равен половине дуги ВМ. То есть углы
ВСМ и ВО1О равны. Аналогично угол ВАМ вписан в окружность с центром О и равен половине дуги ВМ, центральный угол ВОО1 также равен половине дуги ВМ. То есть углы
ВАМ и ВОО1 равны. Треугольники АВС и ОВО1 подобны по первому признаку. Соответственно, угол ОВО1 прямой.
Так как линия центров ОО1 перпендикулярна общей хорде ВМ и делит её пополам, то ВК – высота треугольника ОВО1 и ВК=4.
Рассмотрим цепочку подобных треугольников. Треугольники АРМ и АВС подобны, треугольники АВС и ОВО1 подобны, Треугольники ОВО1 и ОВК подобны. Значит треугольники АРМ и ОВК подобны. Отсюда РМ:ВК=АР:ОК или 4√3:4=√3:ОК, ОК=1.
По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике ВК2=ОК*КО1, 42=1*КО1, КО1 = 16. ОО1 = ОК + КО1 = 17.
Ответ 17.

Задача 3. Две окружности с центрами О и Q пересекаются друг с другом в точках А и В, пересекают биссектрису угла OAQ в точках С и D соответственно.
Отрезки OQ и AD пересекаются в точке Е, причем, площади треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42.
а) Докажите, что треугольники AQO и BDС подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.

Решение. а) Докажем, что треугольники AQO и BDС подобны. Угол BDС вписан в окружность с центром Q и равен половине дуги АВ, центральный угол ОQА также равен половине дуги АВ. То есть углы BDС и AQO равны.
Угол ВСА вписан в окружность с центром О и равен половине дуги АКВ, центральный угол АОК также равен половине дуги АКВ. То есть углы ВСА и АОК равны. Но угол ВСА смежен с углом BСD, а угол АОК смежен с углом АОQ, значит углы BСD и АОQ равны. Треугольники BСD и АОQ подобны по первому признаку.
б) Найдём площадь четырехугольника OAQD. Из того, что площади треугольников ОАЕ и QAE равны соответственно 18 и 42 и эти треугольники имеют общую высоту из вершины А, найдём отношение ОЕ и ЕQ. ОЕ: ЕQ = 18:42 = 3:7. По свойству биссектрисы треугольника АО: АQ= ОЕ: ЕQ = 3:7.
Треугольники ОЕА и DЕQ подобны (углы ОЕА и DЕQ – вертикальные, треугольник АDQ – равнобедренный, угол АDQ равен углу DАQ и равен углу DАО). Значит площади треугольников ОАЕ и ЕDQ относятся как ОА2: DQ2=  9:49. Или 18: SQED = 9:49, SQED = 98.
Треугольники ОDЕ и DЕQ имеют общую высоту из вершины D, отношение их площадей равно отношению сторон ОЕ и ЕQ, то есть 3:7. SOED = 98:7*3=42.
Площадь четырехугольника OAQD равна сумме площадей четырёх треугольников 18+42+98+42=200.
Ответ 200.
Продолжение следует.

Комментариев нет:

Отправить комментарий