Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 12 июня 2016 г.

Две окружности касаются друг друга



Тренировочная работа №4 задание 16.
Прежде чем перейдём к решению этой задачи, вспомним некоторые свойства окружностей. Если две окружности касаются друг друга, то центры этих окружностей и точка касания лежат на одной прямой (линии центров).
Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Задача 1. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Решение. а) Периметр треугольника АВС, с вершинами в центрах трех окружностей, равен сумме АВ+ВС+АС. Обозначим радиус большой окружности  R, радиус окружности с центром в точке С – r1,  радиус окружности с центром в точке А –r2.
Тогда, ВС = ВК – СК = Rr1, АС = АD + DС = r1 + r2, АВ = ВМ – АМ = Rr2. В итоге
АВ+ВС+АС = Rr2 + Rr1 + r1 + r2 = 2R.
б) Найдем радиус r2 третьей окружности, если R = 4, r1 = 1. Пусть r2 = х.
Тогда АС = х + 1, ВС = 4 – 1 = 3, АВ = 4 – х.
Из прямоугольного треугольника АСЕ по теореме Пифагора имеем АС2 = АЕ2 + ЕС2.
(х + 1)2 = х2 + ЕС2 или ЕС2 = 2х + 1.
Из прямоугольного треугольника АВЕ по теореме Пифагора имеем АВ2 = АЕ2 + ВЕ2.
(4 – х)2 = х2 + ВЕ2 или ВЕ2 = 16 – 8х.
Так как СЕ = ВЕ + ВС = ВЕ + 3, получаем уравнение
25х2 – 120х + 144 = 144 – 72х.
25х2 – 48х = 0. Отсюда х = 1,92.
Ответ 1,92.
Задание для самостоятельной работы.
Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Ответ 3.

Комментариев нет:

Отправить комментарий