Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 24 июня 2016 г.

Квадраты на сторонах треугольника



Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается ma.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:
Здесь а, b, с – стороны треугольника,  ma – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.
а) Докажите, что СМ=0,5*DК.
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150.

 
Решение: а) Приведём два способа доказательства.

1 способ. Заметим, что угол DСК = 180угол АСВ. По теореме косинусов для треугольника DСК имеем DК2 = DС2 + СК2 – 2* DС*СК*cos DСК =
2 + СК2 – 2* DС*СК*cos(180ÐАСВ) = DС2 + СК2 + 2* DС*СК*cosАСВ.
По теореме косинусов для треугольника АВС имеем
АВ2 = АС2 + СВ2 – 2* АС*СВ*cosАСВ.
Найдём медиану СМ по приведённой выше формуле.
СМ2 = 0,25*(2* АС2 + 2*СВ2 – АВ2)= 0,25*(2* АС2 + 2*СВ2 – АС2 – СВ2 + 2* АС*СВ*cos АСВ) = 0,25*( АС2 + СВ2 + 2* АС*СВ*cosÐАСВ) =
0,25*( DС2 + СК2 + 2* DС*СК*cosАСВ)= 0,25* DК2, то есть мы получили
СМ2 =0,25* DК2, отсюда СМ=0,5*DК.

2 способ. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АТВС. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то СМ – половина диагонали СТ. Заметим, что треугольники АТС и DСК равны по первому признаку равенства треугольников (АС= DС, АТ=СВ=СК, ÐСАТ=Ð DСК). Значит
СТ= DК, СМ = 0,5 СТ = 0,5 DК.

б) Приведём три способа решения задачи.
1 способ.
 
Рассмотрим треугольники АСК и DСВ, они равны по первому признаку равенства треугольников (АС= DС, СВ=СК, угол АСК=угол DСВ=90 + угол DСК). Значит АК = DВ.
По теореме косинусов для треугольника АСК имеем АК2 = АС2 + СК2 – 2* АС*СК*cos АСК = 142 + 162 – 2* 14*16*cos 120 = 196+256 +448*0,5 = 452 +224 = 676.
АК= DВ = 26.
МО1 – средняя линия треугольника АВК, МО1 = 0,5АК = 13.
ОМ – средняя линия треугольника АВD, ОМ = 0,5 DВ = 13.
Ответ 13.
2 способ. Можно посмотреть здесь
3 способ. Можно посмотреть здесь

Задания для самостоятельной работы.
Задание 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.
а) Докажите, что СМ=0,5*DК.
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6, BC=10,  угол АСВ=30.
Ответ 7.

1 комментарий: