Как установить кресла на карусели

Итак, продолжаем решать задачи с экономическим содержанием, которые в КИМах ЕГЭ

по математике (профильный уровень) стоят под номером 19. Задания вполне под силу выпускникам и на них надо зарабатывать баллы.

Приведённая задача использует законы комбинаторики и требует внимательного подсчёта количества возможных вариантов.

Здание 1. Завод выпускает кресла шести видов для детской круглой карусели. Каждая карусель рассчитана на 5 кресел, которые нужно установить. Сколькими способами это можно сделать в каждом из перечисленный случаев, если способы, получающиеся друг из друга поворотом,  считать одинаковыми?

а) Все кресла различные.

б) Представлены кресла 4 видов.

в) Каждого вида не более 2 видов.

Решение.

а) Если бы кресла стояли в ряд, то первое кресло можно было бы выбрать шестью способами, второе-пятью, третье-четырьмя. Всего было бы 6*5*4*3*2=720 способов.

Однако за счет поворота каждый способ при  таком подсчете считается пять раз, то есть 720/5 =144 способа.

б) Если представлены кресла четырех видов, то три вида представлены одним креслом, а один вид-двумя. Один вид, представленный двумя креслами, мы можем выбрать шестью способами. Затем из пяти оставшихся выбираем три вида, это можно сделать таким же числом способов, каким можно выбрать два неиспользуемых вида из пяти, то есть 5*4/2=10 способами.

Таким образом, существует 60 способов выбрать один вид, представленный двумя креслами, и три вида, представленные одним креслом.

Пусть описанный выше выбор сделан, и у нас уже отобрано 5 кресел. Сначала расставим их в ряд, считая различными. Получим 5*4*3*2*1=120 способов. Теперь учтем то, что один вид повторяется дважды. Получим: 120/2 =60способов.Наконец, учтем повороты и получим: 60/5=12 способов. Значит, всего 60*12=720 способов.

в)Возможно 3 случая.

1) Все кресла различны. Тогда соответствующих способов-144(см. пункт а).

2) Три вида представлены одним креслом, а один вид-двумя, Таких способов-720(см. пункт б).

3) Один вид кресел представлен на карусели одним креслом, а двум видам соответствует по два кресла. Выбрать один вид, а затем два других можно 60 способами(не учитывая порядок выбора двух последних).

Если бы 5 кресел были различными, то их можно было бы расставить в ряд 5!=120 способами. Учитывая повторяющиеся кресла, получим: 120/(2*2)=30 способов, а учитывая повороты- 30/5=6 способов. Всего в этом случае 6*60=360 способов.

Общее число способов равна 720+360+144+1224

Ответ: а)144; б)720; в)1224.