Числа, клетки и кандидаты

Ну, решил?

 Рассмотрим решение четырех задач, предлагавшихся на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 2011 году в 10 классе.

Задача 1. Два натуральных числа в сумме составляют 2019, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа. (Задание изменено, ранее стояло число 2011)

Решение. Обозначим второе число за х, тогда первое равно 10х+у, где у – некоторая цифра. Из условия получаем 10х+у+х=2019 или 11х+у =2019. Тогда 11х =2019-у. Значит число 11х находится между числами 2010 и 2019, а это возможно только при х=183. Следовательно у=6. 1836 + 183=2019.

Ответ 1836 и 183.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.

Площади шестиугольника и треугольника

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов

Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.

Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

Треугольник с углом 60 градусов

Рассмотрим олимпиадную задачу для учащихся 10 класса, но уровень ее соответствует и заданию по планиметрии №16 на ЕГЭ. Решить задачу помогает подобие прямоуголных треугольников, которое не совсем просто увидеть.

Задача. В треугольнике АВС расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ равно а, а угол АВС равен 60 градусам. Точка К на стороне ВС такова, что ВК =АВ/2. Найдите длину отрезка СК.

Решение. Пусть точка Н – середина ВА, тогда ВН=АН=ВК по условию.

Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 1589²-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

1589²-1=1589²-1²=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

Опять помогает окружность

Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.

Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =

2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Докажите, что AD = DC.

Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

Найдите сумму корней уравнения

Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.

Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».

Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х⁸-2018х⁴+2017х²=0.

Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x₀ является корнем уравнения, то и –x₀  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.

Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x²-4x+3)²-4(x²-4x+3)+3=x.

Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.

Решение.

Задания 10 классу

1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=67,5° и BC=3.

2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.

Две окружности и касательная

Приведу свое решение задачи №16 из второго варианта сборника "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. (под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
Задача. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке Т. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках М и К соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) ТА пересекает МК в точке N. Найдите AN, если радиус большей окружности равен 41, а BC = 80.

Решение.

Трапеция с тремя равными отрезками

Ну вот и пришло время начинать очередную подготовку к ЕГЭ по математике. С

десятиклассниками решаем на дополнительных занятиях 16 задания по планиметрии из сборника под редакцией И.В. Ященко.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADС .

б) Найдите АВ, если известны длины диагонали трапеции: BD = 8 и AC = 5.

Решение.

а) Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то ВС=АС. Так как треугольник АСD равнобедренный с основанием АD, то АС= СD. Получаем ВС=АС=АD, следовательно, треугольник ВСD равнобедренный и угол СВD равен углу СDВ. Но углы СВD и ВDА – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей ВD, следовательно они равны. Значит  угол СDВ равен углу ВDА и  AC — биссектриса угла BAD.

Оценивание заданий 21 ОГЭ

Из методических рекомендаций по оцениванию выполнения заданий ОГЭ с развернутым ответом в 2018 году.

Примеры оценивания ответов с комментариями.

Критерии оценки выполнения задания 21.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

 Небольшое уточнение с «ошибка или описка» до «ошибки или описки» подчеркивает тот факт, что 1 балл допускается ставить в тех случаях, когда единственная вычислительная ошибка (описка) стала причиной того, что неверен ответ.

К вычислительным ошибкам не относятся ошибки в формулах при решении квадратного уравнения, действиях с числами с разными знаками, упрощении выражений со степенями и корнями и т.д.

К зачету №5 задание 23

Рассмотрим решение задания 23 одного из вариантов КИМов ОГЭ.

Графиком функции является стандартная парабола, ветви направлены вниз. Вершина в точке (0;-1). На параболе вырезана точка с абсциссой 2.

Пря­мая y=kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку, если она касается параболы или проходит через вырезанную точку (2;-5).

Дерево всех сезонов

Картинка сделана в графическом калькуляторе Desmos графиками различных функций, анимация задана изменением параметра.

Иллюстрация решения неравенства с параметром

Задача 18 ЕГЭ и GeoGebra

Минимальные баллы 2018

Из письма Рособрнадзора от 03.04.2018 № 10-220

Рекомендации
по определению минимального количества баллов ОГЭ в 2018 году

Учебный предмет	Первичные баллы, соответствующие минимальному баллу «3»	Дополнительные условия получения минимального балла
Математика	8	не менее 2 баллов из 8 получено за выполнение заданий модуля «Геометрия»
Физика	10
Информатика и ИКТ	5

Рекомендации по переводу суммы первичных баллов за экзаменационные работы основного государственного экзамена (ОГЭ) в пятибалльную систему оценивания в 2018 году

2. МАТЕМАТИКА

Максимальное количество баллов, которое может получить участник ОГЭ за выполнение всей экзаменационной работы, - 32 балла. Из них - за выполнение заданий модуля «Алгебра» - 20 баллов, модуля «Геометрия» - 12 баллов.

Критерии оценки выполнения задания 22

Методические материалы для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ОГЭ 2018 года

§2. Общие подходы к проверке и оценке выполнения заданий

с развернутым ответом

Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.

Примеры оценивания решений задания 17

 Продолжение поста Критерии оценивания заданий №17 ЕГЭ по математике
Пример 1.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Критерии оценивания заданий №17 ЕГЭ по математике

Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018года

(извлечения)

Задание №17 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Несколько подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи.

Дан старт марафону

Сегодня дан старт телекоммуникационному марафону по математике, тесты и задания для
расшифровки первого этапа опубликованы. Формы для ответов были подготовлены раньше. С праздничным настроением начинаем марафон. Хотя, некоторые команды его уже начали: закодировали и опубликовали цитаты и высказывания о футболе. Мы будем считать данные события не фальстартом, а похвальным желанием быть первопроходцами!
1 этап.  «Прогулка по Дробландии»

Задачи этапа: Повторить дроби. Расшифровать сообщения и закодировать цитату с помощью таблицы кодов Дробландии.

 Задание 1. Пройти тест на выполнение действий с дробями (задачи из открытого банка заданий ФИПИ по математике).

Критерии оценки: 1 балл за каждое верно выполненное задание.

Тест "О футболе по Дробландски", 8 класс

Тест "О футболе по Дробландски", 10 класс

 Формы для внесения ответов: 

Ответы на тест о футболе по Дробландски, 8 класс

Ответы на тест о футболе по Дробландски, 10 класс

Поможем друг другу

Полным ходом идет регистрация участников областного телекоммуникационного проекта «Научим себя и других решать нестандартные задачи по математике или Многолика и многогранна 3»! Мы рады приветствовать участников из различных районов нашей области на очередном марафоне по просторам Математики, очень приятно видеть уже знакомых по предыдущим марафонам руководителей команд! Всем удачного старта и победного финиша. А работы предстоит много, как всегда.
 По положению наш телекоммуникационный проект для 8 и 10 классов. Но если есть желание и время, то принять в нем участие могут и выпускники 9 и 11 классов, ведь одна из задач марафона - подготовка к государственной итоговой аттестации. И мы поможем в этом друг другу.

Парабола проходит через точки

На муниципальном мониторинге по математике в 9 классе, который проходил в формате ОГЭ, 
в одном из вариантов под номером 23 была предложена следующая задача, с которой справилось мало учащихся.
Задача.Парабола проходит через точки K(0; 2), L(–5; –3), M(1; 9). Найдите координаты её вершины.
Решение. Общий вид уравнения параболы у=ах²+bх+с. Последовательно подставляем в это уравнение координаты точек.
При подстановке координат точки  K(0; 2) получаем:
2=а*0²+b*0+с или с=2.
При подстановке координат точки  L(–5; –3) получаем:
-3=а*(-5)²+b*(-5)+2 или 25а-5b=-5, 5a-b=-1, b=5a+1.

Сколько спиц в колесе?

 В контрольно-измерительных материалах для подготовки к ОГЭ часто встречаются в модуле

"Геометрия" простые задачи об углах между соседними спицами в колесах. При их решении важно помнить, что все углы между спицами равны, количество углов равно количеству спиц и в полной окружности 360 градусов.
Задача 1. Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Три общих точки

 Подробно разберем решение задачи 23 из 21 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

Рис 1. 2 параболы

Задача. Постройте график функции у=x²–|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Рассмотрим два случая.
Первый, когда выражение под знаком модуля не отрицательно, 
4x+3≥0, то есть 4x ≥-3 и x ≥-3/4. Тогда |4x+3|=4x+3 и функция принимает вид
 у = x²–|4x+3| = x²–4x-3. График функции - парабола.
Второй случай, когда выражение под знаком модуля отрицательно, 
4x+3<0, то есть 4x < -3 и x < -3/4.