Числа, клетки и кандидаты

Ну, решил?

 Рассмотрим решение четырех задач, предлагавшихся на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников в 2011 году в 10 классе.

Задача 1. Два натуральных числа в сумме составляют 2019, причем второе число получается из первого вычеркиванием последней цифры. Найдите все такие числа. (Задание изменено, ранее стояло число 2011)

Решение. Обозначим второе число за х, тогда первое равно 10х+у, где у – некоторая цифра. Из условия получаем 10х+у+х=2019 или 11х+у =2019. Тогда 11х =2019-у. Значит число 11х находится между числами 2010 и 2019, а это возможно только при х=183. Следовательно у=6. 1836 + 183=2019.

Ответ 1836 и 183.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Ответ без доказательства единственности – 3 балла.

Задача 3. Два графика у=х²+рх+q и у=-х²+qх+р  имеют единственную общую точку. Чему равна абсцисса этой точки?

Решение. Чтобы найти абсциссы общих точек приравняем правые части уравнений

х²+рх+q =-х²+qх+р.

После переноса в левую часть и приведения подобных членов, получаем 2х²+(р- q)х+(q-р)=0. Это уравнение должно иметь единственное решение, значит, дискриминант равен нулю

D=(р- q)²-4*2*(q-р)= (р- q)²+8(р-q)= (р-q) (р-q+8)=0. Отсюда возможны два случая р-q=0 или р-q+8=0.

Корень решаемого уравнения записывается х = (q-р)/4. Если р-q=0 то х=0. Если р-q+8=0 то х=2.

Ответ: 0 или 2.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов.  Найден один ответ – 1 балл, оба ответа без обоснования, что других нет, – 3 балла.

 Задача 4. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешается либо умножить на 2 все числа строки, либо вычесть 1 из всех чисел столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы во всех клетках таблицы стояли нули.

Решение. Достаточно научиться обнулять столбец. Поскольку последующие операции с другими столбцами и строками в нем уже ничего не изменят (0*2=0).

Возьмем первый столбец, найдем в нем самое маленькое число (их может быть несколько, берем любое из них). Проводим вычитание 1 из чисел этого столбца до тех пор, пока на месте самого маленького числа окажется 1.

Далее, все строки, у которых в первом столбце стоит 1, умножим на 2. Теперь произведем вычитание единицы из чисел первого столбца. От этого количество 1 в первом столбце не уменьшится, но все числа в нем станут на 1 меньше. Далее опять, все строки, у которых в первом столбце стоит 1, умножим на 2 и произведем вычитание единицы из чисел первого столбца. Так мы добьемся, чтобы в первом столбце стояли одни единицы. Делаем еще одно вычитание единицы из чисел первого столбца и получаем только нули. Аналогично работаем со вторым и другими столбцами.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Если показано, как получить нулевой столбец, то не менее 4 баллов.

Задача 5. На пост мэра баллотировались три кандидата. Кандидат А заявил: «Я умнее Б». Кандидат Б заявил: «Я честнее В». Кандидат В заявил: «Я богаче А». Известно, что самый богатый солгал, самый умный сказал правду, а самый честный был третий. Кто из кандидатов был самый богатый?

Решение. Сразу заметим, что кандидат В не может быть самым богатым, так как в противном случае он сказал правду, что противоречит условию. Теперь допустим, что самый богатый кандидат – А. Но тогда В солгал, тогда по условию он не может быть самым умным, значит, самый умный кандидат – Б, самый честный – В. Но тогда Б сказал правду и он честнее В. Мы получили противоречие. Значит, самым богатым может быть только Б.

Ответ: самый богатый Б.

Критерии оценивания задания. За полное решение – 7 баллов. Если найден ответ без обоснования или с неверным обоснованием – 1 балл. Если задача решается перебором, то следить за тем, чтобы были рассмотрены все варианты, в противном случае перебор решением не считать.