Прямая, проходящая через середину гипотенузы

Рассмотрим еще одну задачу из сборника "ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ". Под редакцией И.В. Ященко. Задача 16 из 28 варианта.
Задача.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.

а) Докажите, что угол ВАС равен 30 градусам.

б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 8√3.

Решение.

а) Пусть АК=у, АМ=х. Тогда СК=2у. Так как СМ - медиана прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла С, то СМ=АМ=ВМ=х и АВ=2х. Значит, угол САВ равен углу АСМ и треугольники АВС и КМС – подобны (по первому признаку). Из пропорциональности сторон имеем

АС:СМ=АВ:КС или 3у:х=2х:2у. Решая пропорцию, находим х=у√3. Значит АВ =2х=2у√3. Косинус угла ВАС равен отношению катета АС к гипотенузе АВ, но АС:АВ=3у: 2у√3=√3/2. Значит, угол ВАС равен 30 градусам.

б) Так как угол ВАС равен 30 градусам, то угол АВС равен 60 градусам и треугольник ВСМ – равносторонний. Из условия имеем х=ВС= СМ=АМ=ВМ=8√3. Тогда  АК=у=8, КС=2у=16, АС=3у=24.

Из треугольника АСР, учитывая, что АС=24 и СР=16√3 по теореме Пифагора находим АР=8 √21. Из треугольника КСР аналогично находим КР=32. Из треугольника КСВ имеем КВ=8√7.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СМР, у него угол МСР равен 60 градусам, значит угол СРК равен 30 градусам и СР=2СМ, отсюда ВР=ВС= 8√3. Тогда треугольники ВМР и АКМ равнобедренные с острыми углами 30 градусов. Значит они подобны (по первому признаку) и КМ:АМ=ВМ:РМ. Отсюда КМ:ВМ=АМ:РМ. Учитывая равенство вертикальных углов КМВ и АМР, можем сделать вывод о подобии треугольников КМВ и АМР. А значит, равны углы АВК и АРК. Теперь мы можем утверждать, что треугольники QРК и QАВ подобны (по первому признаку, угол ВQР – общий и равны углы АВК и АРК). Значит QР: QВ= QК: QА=КР:АВ=32:16 √3=2:√3.

Из QК: QА=КР:АВ=2:√3 имеем QА= QК√3:2.

Из QР: QВ= 2:√3, учитывая QР= QА+АР и QВ= QК+КВ имеем

(QК√3:2+8 √21):( QК+ 8 √7)= 2:√3.

В итоге QК= 16√7.

 Подобные задания и другое решение можно посмотреть на портале "Решу ЕГЭ":

https://ege.sdamgia.ru/problem?id=517240

https://ege.sdamgia.ru/problem?id=517202