Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 1589²-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

1589²-1=1589²-1²=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

1. Доказать, что число 5555²²²² + 2222⁵⁵⁵⁵ является составным числом.
2. Докажите, что число 1 + 2^3456789 — составное.
3. Доказать, что 1030721 – составное число.
4. Доказать, что 2⁸ + 2⁵ • 5⁶ + 5¹² – составное число.
5. Доказать, что число 2¹º + 5¹² – составное.
6. Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.(решение можно посмотреть по ссылке http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=30368)


 
15892−1