Найдите сумму корней уравнения

Готовимся к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников.

Рассмотрим несколько олимпиадных заданий на нахождение суммы корней уравнения. В начале, необходимо вспомнить теорему Виета для квадратного трехчлена: «Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену».

Задача 1. Найдите сумму корней уравнения х⁸-2018х⁴+2017х²=0.

Решение: Очевидно, что x = 0 является корнем данного уравнения. Далее следует заметить, что если ненулевой x₀ является корнем уравнения, то и –x₀  также является корнем уравнения. Значит, все корни данного уравнения кроме нуля встречаются парами {x, -x}. Поэтому сумма корней равна нулю.

Задача 2. Найдите сумму корней уравнения (x²-4x+3)²-4(x²-4x+3)+3=x.

Решение: 1 способ. Можно решать это уравнение «в лоб», то есть раскрыть скобки и привести подобные члены. Получим уравнение 4 степени

х⁴ - 8х³+18х²- 9х =0, вынесем общий множитель х.

х(х³ - 8х²+18х- 9) =0, и первый корень найден х₁=0. Далее надо решить уравнение

х³ - 8х²+18х- 9 =0. Возможные целые корни этого уравнения 1, -1, 3, -3. Подставляя эти числа в уравнение находим второй корень х₂=3. Далее

(х³ - 8х²+18х- 9):(х-3)= х²-5х+3.

Сумма корней квадратного уравнения х²-5х+3 =0 по теореме Виета она равна 5. Сумма всех корней 8.

Ответ 8.

2 способ. Найдем корни квадратного трехчлена x²-4x+3 и разложим его на множители.

x²-4x+3=(х-1)(х-3). Тогда наше уравнение можно записать в виде

(х-1)²(х-3)² - 4(х-1)(х-3) - (х-3)=0. Выносим общий множитель х-3

(х-3) ((х-1)²(х-3) - 4(х-1) – 1)=0 и, приравнивая нулю первый множитель, находим первый корень исходного уравнения, х₁=3. Далее приравниваем нулю второй множитель

(х-1)²(х-3) - 4(х-1) – 1=0. Раскрываем скобки и приводим подобные члены

(х²-2х+1) (х-3) - 4х+4 – 1=0,

х³-2х²+х - 3х²+6х - 3 - 4х+3=0,

х³-5х²+3х =0, вынесем общий множитель х.

х(х²-5х+3) =0 и второй корень тоже найден х₂=0. Остается найти сумму корней квадратного уравнения х²-5х+3 =0. По теореме Виета она равна 5. Сумма всех корней 8.

Ответ 8.

Задания для самостоятельной работы.

Задача 3. Найдите сумму корней уравнения

Подсказка. Можно решать, обозначив 4х²-8х+7=а.