Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

пятница, 4 марта 2016 г.

Угол между плоскостями



В приведённой ниже подборке заданий из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение углов между плоскостями в правильной треугольной призме. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  Для того, чтобы найти двугранный угол (угол между двумя плоскостями, надо найти его линейный угол. Линейный угол образован перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными из одной точки, но в разных полуплоскостях (гранях).
Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 4, точка D – середина ребра СС1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1.
Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ1. Это треугольник АDВ1. Секущая плоскость имеет с основанием АВС общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Найдём еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямой B1D и получим точку К – общую для основания АВС и плоскости АDВ1. Значит эти плоскости пересекаются по прямой АК.

Заметим, что треугольники КСD и DВ1С1 равны ( они прямоугольные, С1D = DС по условию, углы С1DB1 и СDК – вертикальные). Значит СК = B1С1 = АС. Треугольник АСК – равнобедренный, угол САК равен углу СКА и равен 30 градусам (угол АСВ внешний угол треугольника АСК и равен сумме углов САК и СКА).  Отсюда получаем, что угол ВАК равен сумме углов ВАС и САК, 60+30=90. Угол ВАК – прямой.
Так как АА1 перпендикулярна АК и АВ перпендикулярна АК, то АК перпендикулярна плоскости ВАА1 и АВ1 перпендикулярна АК. Значит угол ВАВ1 является линейным углом двугранного угла ВАКВ1 и его необходимо найти. Из треугольника АВВ1 получаем:
tg ВАВ1= ВВ1/АВ=4/2=2.
Угол ВАВ1= arctg2.
Ответ arctg2.

Задания для самостоятельной работы.
Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D – середина ребра СС1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1.

1.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D  середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
2.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D  середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
3.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D  середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
4.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
5.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D  середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
6.      В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D  середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

1 комментарий: