Строим ряд из натуральных чисел

Продолжим разбор задач под номером 19, теперь из сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Задача из варианта №11 о построении ряда натуральных чисел с заданными параметрами.

Задача 1. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. 
а) Может ли оказаться так, что первое число 8, а шестое 5? 
б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1000, а двадцатое равно 62?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1000, а последнее число равно 9?

Решение.

а) Здесь достаточно привести пример такой записи натуральных чисел: 8, 4,2,3,4,5.

б) Попробуем построить такую последовательность чисел. Заметим, что с точки зрения экономии ходов, в два раза выгоднее сначала делить данное число на 2 необходимое количество раз, а потом прибавлять 1 (две добавленных единицы к большим числам, при делении на 2 превращаются в одну добавленную единицу). Но, обязательно надо проверить «верхний» путь, например из 8 получить 5 быстрее так 8,9,10,5.

В нашем случае 62*2⁵=62*32=1984 и «верхний» путь займет около 1000 шагов.  Поэтому наиболее «экономный» путь получения из 1000 числа 62 следующий:

1000,500,250,125, 126, 63, 64, 32, 33, 34, …,61, 62. Но в этой последовательности чисел 39 чисел. Ответ Нет.

б) Учитывая сказанное в предыдущем пункте, наиболее экономный путь получения из 1000 числа 9 следующий

1000,500,250,125, 126, 63, 64, 32, 16, 8, 9.  

Если идти «верхним» путем, то надо из 1000 сначала получить 9*27=9*128=1152, то есть 152 раза добавить единицу, а потом еще 7 раз делить на 2.

Ответ 11 чисел.

Ответ а) 8, 4,2,3,4,5  б) Нет  в) 11.