Найти наименьшее число членов последовательности

 Рассмотрим задачу №19 из Методических материалов для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Приведем примеры решения и оценку этих решений экспертами.
Задача. В последовательности а₁, а₂, …, а_n-1, a_n,  состоящей из целых чисел, а₁=1, a_n=235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

б) Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.

в) Рассмотрим три члена последовательности: a_k, a_k+1, a_k+2 (1≤ k ≤n-2).

Поскольку a_k+a_k+1≥ 3, a_k+1+a_k+2≤ 25 , получаем: a_k+2≤ a_k+22.

В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов. Пусть n=2m+1, тогда

a_n=a_2m+1 ≤ a_2m-1+22≤ a_2m-3+22*2≤…≤ a₁+22 m;

235 ≤ 1+22m, откуда m≥11.  

Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.

Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов: 1, 2, 23, -20, 45, -42, 67, -64, 89, -86, 111, -108, 133, -130, 155, -150, 175, -170, 195, -190, 215, -210, 235.

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235; б) нет; в) 23.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Пример решения 1.

Комментарий.

В пункте а допущена ошибка – сумма первых двух чисел равна –25. При ответе на вопрос пункта б участник экзамена верно показал, что случай n =1000 невозможен.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример решения 1.

 Комментарий.

В пункте а верно приведен пример. Решение пункта б неверно.

Оценка эксперта: 1 балл.