Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

Пусть нам дана прямая треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и В₁С₁ равно длине бокового ребра. Такое же расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и А₁С₁, между параллельными прямыми АВ и А₁В₁.

Рассмотрим другие прямые. Расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ₁ и А₁С₁ является длина перпендикуляра В₁Н, опущенного в треугольнике А₁В₁С₁ из точки В₁ на сторону А₁С₁. Докажем это.

Так как призма прямая, то все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям по определению. То есть прямая СС₁перпендикулярна плоскости А₁В₁С₁, значит СС₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой В₁Н. Имеем, что В₁Н перпендикулярна двум пересекающимся прямым А₁С₁ и СС₁, лежащим в плоскости АСС₁, значит она перпендикулярна этой плоскости. Но плоскость АСС₁ параллельна ребру  ВВ₁ (боковые ребра призмы параллельны).  Значит расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ₁ и А₁С₁ является длина перпендикуляра В₁Н.

Так как В₁Н перпендикулярна плоскости АСС₁, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой А₁С. Соответственно, расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ₁ и А₁С является длина перпендикуляра В₁Н.

Рассмотрим более сложный случай. Пусть в той  же призме точка Е – середина ребра ВВ₁.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми А₁С₁ и СЕ. Для этого в треугольнике А₁В₁С₁ проведем перпендикуляр В₁К. Через  точку К и ребро ВВ₁ проведет плоскость, которая пересекает АС в точке Р. Так как плоскость АСС₁ параллельна ВВ₁, то РК тоже параллельна ВВ₁ и РК перпендикулярна А₁С₁. Значит А₁С₁ перпендикулярна плоскости РКВ₁. Плоскость РКВ₁ пересекает плоскость АЕС по прямой РЕ, значит А₁С₁ перпендикулярна РЕ, тогда и АС перпендикулярна РЕ. В плоскости РКВ₁ проведем прямую КН перпендикулярно РЕ, тогда КН перпендикулярна РЕ и АС, значит КН перпендикулярна плоскости АЕС. Длина отрезка КН и является расстоянием между скрещивающимися прямыми А₁С₁ и СЕ.