Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018

Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.

Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.

Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Решение. а) Если на доске записано 29 зелёных чисел: 3, 6, …, 87 — и одно красное
число 21, то их сумма меньше 1395.

б) Пусть на доске ровно одно красное число. Тогда зелёных чисел 29,
а их сумма не меньше, чем сумма 29 наименьших чисел, делящихся на 3: 3+6+9+...+87=(90*29)/2 = 1305. Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1067.

в) Пусть на доске написано n красных чисел и 30- n зелёных чисел. Тогда сумма красных чисел не меньше 7+14+…+7n = (7+7n)*n/2=(7n+7n²)/2. Сумма зелёных чисел не меньше 3+6+…+3(30-n) = (3+3(30-n))* (30-n)/2 =.3(31-n)* (30-n)/2=(3n²-183n+2790)/2.

Тогда сумма всех чисел не меньше

(7n+7n²)/2 + (3n²-183n+2790)/2=(10n²-176n+2790)/2=5n²-88n+1395 и решаем неравенство

5n²-88n+1395£1067, 5n²-88n+328£ 0.

5n²-88n+328=0.

Дискриминант равен 88²-4*5*328= 7744 – 6560 = 1184=16*74

Корни n₁ = (88+4Ö74)/10 = 8,8+0,4Ö74 и n₂ = (88 – 4Ö74)/10 = 8,8 – 0,4Ö74

Решения неравенства 8,8 – 0,4Ö74  £  n £ 8,8+0,4Ö74. Так как n - целое, получаем n ³ 6.

Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых
равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, …, 66, 69, 78.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — искомая оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Пример решения и оценки 1.

Комментарий.

Приведено верное решение пункта а. Приведено верное решение пункта б.

Решение в пункте в не завершено.

Оценка эксперта: 2 балла. 

Пример решения и оценки 2. 

Комментарий.

Обоснованно получены верные ответы во всех пунктах.

Оценка эксперта: 4 балла.

Пример решения и оценки 2.

Комментарий.

Обоснованно получен ответ в пунктах а и б. В решении пункта в есть логическая ошибка: не доказано, что красных чисел не может быть меньше 5. Взяв пять красных, нужно взять 25 зеленых чисел, а не 26. Кроме того, сумма чисел найдена неверно.

Оценка эксперта: 2 балла.