Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

среда, 2 марта 2016 г.

Равнобедренная трапеция и окружность



Разберём решение серии планиметрических задач из открытого банка ФИПИ по математике (профильный уровень). Эти задачи соответствуют уровню заданий под номером 16 профильного ЕГЭ. Для их решения необходимо хорошо знать геометрию на уровне 9 класса. В частности, свойства касательных и свойства радиуса, проведённого в точку касания, теорему Пифагора и теорему косинусов, свойство средней линии треугольника свойства параллелограмма, и другие.

Задание 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=60° и BC=2.

Решение. а) Отрезок QO является средней линией трапеции ABCD, а значит,
параллелен основаниям ВС и AD. Треугольник АОН равнобедренный, так как АО и ОН – радиусы окружности. Значит, угол ОАН равен углу ОНА, но угол ОАН равен углу D, так как трапеция равнобедренная. Значит, угол ОНА равен углу D, а это соответственные углы, образованные прямыми ОН и CD и секущей AD. Следовательно, прямые ОН и CD параллельны по 2 признаку параллельности прямых. Значит DQOH — параллелограмм.



б) Найдём AD, если BAD=60° и BC=2. Заметим, что треугольник ОАН в этом случае – равносторонний. Проведём отрезок ВМ, где М - точка пересечения окружности с QО.  Тогда СQМВ — параллелограмм, МQ= ВС = 2. Треугольник ОВМ равен треугольнику ОАН (АО=ОВ, ОМ = ОН, угол ОАН равен углу МОВ – соответственные при параллельных АD и ОМ и секущей АВ). Треугольник ОВМ тоже равносторонний. СQМВ — параллелограмм, МQ= ВС = 2. Значит ОQ = ОМ + МQ = R+2, где R – радиус окружности. Так как радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то треугольник QОК – прямоугольный. 


Задания для самостоятельного решения.
Задание 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=67,5° и BC=3.

Задание 2. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если BAD=75° и BC=1.

5 комментариев:

  1. Только ВС это никак не касательная имне ее отрезок...

    ОтветитьУдалить
  2. Совершенно справедливо, Андрей. Спасибо.Спешка к добру не привела. Исправления в решение внесены.

    ОтветитьУдалить
  3. почему СQМВ — параллелограмм?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. ВС параллельна ОQ, так как QO является средней линией трапеции ABCD.
      СQ параллельна МВ, так как соответственные углы СQО и ВQО равны 60 градусам.

      Удалить
  4. Олег, извините, но задача не верно решена. В б) правильный ответ 8 корней из 3 + 14. Запутанное решение, не хочется искать ошибку. Проверьте себя. Посмотрите другие источники.

    ОтветитьУдалить