Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 20 марта 2016 г.

Окружность в квадрате и касательная



Для решения следующих геометрических задач необходимо знать
соответствующие факты из планиметрии. В частности, свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки (их отрезки соединяющие исходную точку и точки касания равны), признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников, теорему Пифагора и другие.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение. а) По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки МН=МТ, NT=NR. Значит гипотенуза MN =МТ+ ТN =МН+ NR. Поэтому периметр треугольника AMN = АМ+ MN + AN = АМ+ МН+ NR + AN = АН + АR =АВ.

б) Найдём в каком отношении прямая MN  делит сторону BC. Заметим, что треугольник BKF равен треугольнику EDP (это следует из равенства треугольников OHF и OQP). Значит ВК=ED, КС=АЕ  и отношение отрезков ВК и КС равно отношению отрезков ED и АЕ.
Пусть АМ=1, тогда МВ=2, АВ=3, АН=1,5.
МН=АН-АМ=0,5. Значит МТ=МН=0,5. Обозначим NT=NR=х. Тогда
MN=МТ+х=0,5+х, AN = АR х=1,5– х.
По теореме Пифагора MN2=АМ2+AN2 или (0,5+х)2=12+(1,5– х)2. Раскрывая скобки, получим 0,25 +х +х2 = 1 + 2,25 – 3х +х2.
4х = 3, х = 0,75. AN = 1,5– 0,75=0,75.
Далее заметим, что треугольники AМN и NDP подобны (они прямоугольные и углы ANМ и PND – вертикальные). Значит АМ: AN=DP: ND, подставляя найденные значения, получаем 1: 0,75 = DP: 2,25, DP=2,25:0,75 =3.
Треугольники DPЕ и РСК подобны (прямоугольные и имеют общий угол DPЕ). Значит, соответствующие стороны пропорциональны.
ED:КС= DP:СР=3:6=1:2. Значит  ВК:КС= 1:2. Что и требовалось найти.
Ответ ВК:КС= 1:2.

Задания для самостоятельного решения.
Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3?

Задача 2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4?