Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 9 января 2016 г.

И опять пишут числа на доске



 Задания под номером 19 в ЕГЭ 2016 года связаны со свойствами чисел. Сложные, но решать их вполне можно. Попробуйте. За полное решение можно заработать 4 первичных балла.
Задание 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили числом 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение.

а) Допустим, что на доске были записаны числа 10a1+b1, 10a2+b2, …, 10an+bn, где a1, b1, a2, b2, …, an, bn – соответствующие цифры этих чисел. Пусть А= a1+ a2+ …+ an, B = b1+ b2+…+ bn.  Тогда по условию сумма записанных на доске чисел 10a1+b1+10a2+b2+…+10an+bn = 10A+B=363. А сумма после перестановки цифр будет 10b1+a1+10b2+a2+…+10bn+an = 10B+A=1452 ( так как 363*4=1452).
Имеем два уравнения с двумя неизвестными
10A+B=363,
10B+A=1452, сложив эти уравнения получаем
11А+11В=1815, обе части делим на 11,
A+B=165. Сумма цифр, из которых состоят все числа должна равняться 165. Но мы ещё можем уточнить, выразив B=165-А и подставив в первое уравнение.
10*A+165А =363, 9А=198, А=22, В=143. То есть сумма вторых цифр в записанных числах должна быть более чем в шесть раз больше суммы первых цифр. Числа находим методом подбора. Условию соответствует случай, когда на доске написано 20 раз число 17 и число 23. Их сумма равна 363.
После перестановки цифр на доске будет написано 20 раз число 71 и число 32. Их сумма равна 1452. 1452=363*4.
б) Так как вторая сумма должна быть в 2 раза больше, получаем
два уравнения с двумя неизвестными
10A+B=363,
10B+A=726, сложив эти уравнения получаем
11А+11В=1089, обе части делим на 11,
A+B=99. Выразив B=99-А и подставив в первое уравнение.
10A+99А =363, 9А=264, А=264:9=88:3, это дробное число. Противоречие, так как сумма цифр не может быть дробной.
в) Нам необходимо найти наибольшее значение суммы S= 10B+A=10(363 – А)+А = 3630 – 10А+А= 3630 – 99А.
Так как b1£ 9a1, b2£ 9a2,…, bn£ 9an, то В£ 9А. Тогда из равенства
10A+B=363 получаем неравенство 10А + 9А³ 363, или 19А³ 363, А³ 363: 19>19. То есть самое маленькое значение, которое может принимать А=20. А самое большое значение суммы
S= 3630 – 99А=3630 – 1980 = 1650.
Итак, наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел 1650. Учтём, что наибольшее увеличение при перемене местами цифр даёт число 19. Представляем 363=19*18 +21, после перестановки цифр получаем 91*18 +12=1650.
Ответ а) 20 раз число 17 и число 23.
б) нет
в) 1650.

Задания для самостоятельного решения.
Задание 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 2. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 3. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.


Задание 4. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5,5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 5. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

1 комментарий:

  1. http://self-edu.ru/ege2016_36.php?id=31_19
    В пункте в) Ященко пишет что 3267, вообще не понял откуда это число,сам решил,получил 1650

    ОтветитьУдалить